Encontre as derivadas das funções abaixo aplicando as regras de derivação.
f(x)=ln (x^2+e^3x^3+1)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=ln!l(x^2+e^3x^3+1r)^2
Queremos f'(x) usando derivação de logaritmo, regra da cadeia e propriedades de ln.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de potência do logaritmo, ln(u^2)=2ln(u). Assim,
f(x)=2ln!l(x^2+e^3x^3+1r)

Passo 3

Agora usamos ln(a/b)=ln(a)-ln(b) para separar o quociente:
f(x)=2l[ln(x^2+e^3)-ln(x^3+1)r]

Passo 4

Diferenciamos termo a termo, lembrando que a constante 2 sai na frente:
f'(x)=2[ddxln(x^2+e^3) ;-;ddxln(x^3+1)]

Passo 5

Usamos ddxln(g(x))=g'(x)g(x). Então,
ddxln(x^2+e^3)=2xx^2+e^3, ddxln(x^3+1)=3x^2x^3+1
Logo
f'(x)=2![2xx^2+e^3-3x^2x^3+1]

Passo 6

Bast
a distribuir o 2 para chegar à forma final:
f'(x)=4xx^2+e^3-6x^2x^3+1

Resposta

f'(x)=4xx^2+e^3-6x^2x^3+1

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