Encontre as derivadas das funções abaixo aplicando as regras de derivação.
f(x)=arctg(2 x1-x^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=arctg!gl(2x1-x^2gr)
O conteúdo usado será a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=2x1-x^2
e usamos que, para f(x)=arctg(u(x)),
f'(x)=u'(x)1+[u(x)]^2

Passo 3

Calculamos u'(x) pela regra do quociente:
u'(x) =(2)',(1-x^2)-2x,(1-x^2)'(1-x^2)^2 =2(1-x^2)-2x(-2x)(1-x^2)^2 =2+2x^2(1-x^2)^2 =2(1+x^2)(1-x^2)^2

Passo 4

Agora calculamos o denominador 1+[u(x)]^2:
1+gl(2x1-x^2gr)^2 =(1-x^2)^2+4x^2(1-x^2)^2 =1+2x^2+x^4(1-x^2)^2 =(1+x^2)^2(1-x^2)^2

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=u'(x)1+[u(x)]^2 temos
f'(x) =2(1+x^2)(1-x^2)^2 (1+x^2)^2(1-x^2)^2 =2(1+x^2)(1+x^2)^2 =21+x^2

Resposta

f'(x)=21+x^2

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