Encontre as derivadas das funções abaixo aplicando as regras de derivação.
f(x)=(x-12-x)^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x-12-xr)^x
O conteúdo envolvido é a diferenciação de função cuja base e expoente variam com x. Para resolver, vamos usar logaritmo natural e aplicar regras de derivação (produto, cadeia e quociente).

Passo 2

Definimos y=f(x) e tomamos logaritmo natural dos dois lados:
ln y = lnl(x-12-xr)^x = x ,lnl(x-12-xr)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, usa-se ddx[ln y]=tfracy'y. No direito, aplicamos a regra do produto em
xcdotlnl(tfracx-12-xr):
y'y = 1cdot lnl(tfracx-12-xr) + x cdot ddxl[lnl(tfracx-12-xr)r]

Passo 4

Calculamos a derivada do logaritmo usando ln(u/v)=ln u-ln v:
ddxlnl(tfracx-12-xr) = ddxln(x-1);-;ddxln(2-x) = 1x-1 - l(-12-xr) = 1x-1 + 12-x = 1(x-1)(2-x)

Passo 5

Substituindo essa derivada na expressão para tfracy'y, obtemos
y'y = lnl(tfracx-12-xr) + x;1(x-1)(2-x)

Passo 6

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y e retornamos a f(x):
y' = y ,l[lnl(tfracx-12-xr) + x(x-1)(2-x)r] = l(x-12-xr)^x l[lnl(tfracx-12-xr) + x(x-1)(2-x)r]

Resposta

f'(x) = l(tfracx-12-xr)^x l[lnl(tfracx-12-xr) + x(x-1)(2-x)r]

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