3^{\underline{a}} Questão (8 pts) A função preço de uma empresa (ou seja, o preço por unidade de produto vendido) é p(x)=100-\sqrt{x}, onde x é a quantidade de produtos vendidos (sendo 0<x<10000 ). Qual deve ser a quantidade vendida para que essa empresa tenha receita máxima? (Justifique porque o valor encontrado corresponde ao máximo).
Cálculos:

Passo 1

O enunciado nos dá a função preço da empresa
p(x)=100-\sqrt{x}
onde x é a quantidade vendida em 0<x<10000. Queremos maximizar a receita R(x), definida por
R(x)=x\,p(x).
O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável usando derivadas.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a receita em termos de x, temos
R(x)=x\bigl(100-\sqrt{x}\bigr)=100x - x^{3/2}.
Esta fórmula vale para todo x no intervalo dado.

Passo 3

Para encontrar extremos, calculamos a derivada de R(x):
R'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(100x - x^{3/2}\bigr) =100 - \tfrac{3}{2}\,x^{1/2}.
Impondo R'(x)=0 para achar candidatos a máximo ou mínimo:
100 - \tfrac{3}{2}\sqrt{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}=\frac{200}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\Bigl(\frac{200}{3}\Bigr)^{2}=\frac{40000}{9}.

Passo 4

Para justificar que este valor é de fato um máximo, veja o sinal da segunda derivada:
R''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(100 - \tfrac{3}{2}x^{1/2}\Bigr) =-\tfrac{3}{4}\,x^{-1/2}<0\quad\text{para todo \(x>0\).}
Como R''(x)<0, a função é estritamente côncava e o ponto crítico é um máximo. Além disso, nos extremos do domínio ( x\to0 e x\to10000) a receita vai a zero, confirmando que o único ponto de receita máxima é o interior encontrado.

Resposta

A quantidade que maximiza a receita é
x = \frac{40000}{9}\approx 4444{,}44\text{ unidades.}

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