Questão (8 pts) A função preço de uma empresa (ou seja, o preço por unidade de produto vendido) é
, onde
é a quantidade de produtos vendidos (sendo
). Qual deve ser a quantidade vendida para que essa empresa tenha receita máxima? (Justifique porque o valor encontrado corresponde ao máximo).
Cálculos:
Cálculos:
Passo 1
O enunciado nos dá a função preço da empresa
onde
é a quantidade vendida em
. Queremos maximizar a receita
, definida por
O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável usando derivadas.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a receita em termos de
, temos
Esta fórmula vale para todo
no intervalo dado.
Passo 3
Para encontrar extremos, calculamos a derivada de
:
Impondo
para achar candidatos a máximo ou mínimo:
Passo 4
Para justificar que este valor é de fato um máximo, veja o sinal da segunda derivada:
Como
, a função é estritamente côncava e o ponto crítico é um máximo. Além disso, nos extremos do domínio (
e
) a receita vai a zero, confirmando que o único ponto de receita máxima é o interior encontrado.
Resposta
A quantidade que maximiza a receita é