Encontre as derivadas das funûÏûçes

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar a derivada de y=(1+tan^3x)^1/4. O conteúdo principal que vamos usar é a regra da cadeia, pois temos uma função composta: uma potenciação de expoente 1/4 aplicada à função interna 1+tan^3x.

Passo 2

Definimos u = 1 + tan^3x, de modo que y = u^1/4. Pela regra da cadeia, temos y' = dyducdotdudx.

Passo 3

Para calcular dudx, observamos que u = 1 + tan^3x. Logo
dudx = 3tan^2x cdot ddx(tan x) = 3tan^2x cdot sec^2x

Passo 4

Para calcular dydu, usamos y = u^1/4, então
dydu = 14u^1/4 - 1 = 14u^-3/4

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia:
y' = dyducdotdudx = 14u^-3/4 cdot 3tan^2xsec^2x

Passo 6

Substituindo u = 1+tan^3x, chegamos à derivada final:
y' = 3tan^2xsec^2x4,(1+tan^3x)^3/4

Resposta

y' = 3tan^2xsec^2x4,(1+tan^3x)^3/4

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