Passo 1

Temos que calcular a integral ointCl(z+tfrac1zr),dz sobre o círculo |z|=2. Esse problema envolve integração de funções complexas, usando o Teorema de Cauchy e o cálculo de resíduos.

Passo 2

Podemos separar a integral em duas partes: ointCz,dz e ointC1z,dz, pois a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 3

A função z é inteira (analítica em todo o plano), logo possui primitiva global tfracz^22. Pelo Teorema de Cauchy ou diretamente pela forma primitiva, temos ointCz,dz=0.

Passo 4

Para ointCtfrac1z,dz, o único pólo dentro de C é em z=0. O resíduo de 1/z em zero é 1. Pelo Teorema dos Resíduos, fica ointCtfrac1z,dz=2pi icdot1=2pi i.

Passo 5

Somando os resultados: 0 + 2pi i = 2pi i.

Resposta

2pi i

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