Encontre as derivadas das funûÏûçes

Passo 1

A questão pede a derivada de y=l(1+tfrac1xr)^x^2 para x>0. O conteúdo principal aqui é diferenciação de função na forma f(x)^g(x), e vamos usar diferenciação logarítmica para lidar com expoente variável de forma mais simples.

Passo 2

Começo aplicando logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência. Defino ln y = lnl((1+tfrac1x)^x^2r). Como ln(a^b)=bln a, fica:
ln y = x^2lnl(1+tfrac1xr)

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, ddx(ln y)=y'y. No direito, é produto de x^2 por ln(1+1/x), então uso a regra do produto:
y'y=ddxl(x^2r)cdotlnl(1+tfrac1xr)+x^2cdotddxl[lnl(1+tfrac1xr)r]

Passo 4

Calculo cada parte:
  1. ddx(x^2)=2x
  2. Para ddx[ln(1+1/x)], uso cadeia:
ddxl(1+tfrac1xr)=-tfrac1x^2,eddxln u=u'u
Logo
ddxlnl(1+tfrac1xr)=-1/x^21+1/x=-1x^2l(1+1/xr)
Como 1+1/x=(x+1)/x, isso vira
-1x^2cdotxx+1=-1x(x+1)

Passo 5

Substituindo de volta em y'/y:
y'y=2xlnl(1+tfrac1xr)+x^2l(-1x(x+1)r)
Simplifico o segundo termo:
x^2cdotl(-tfrac1x(x+1)r)=-x^2x(x+1)=-xx+1
Logo
y'y=2xlnl(1+tfrac1xr)-xx+1

Passo 6

Finalmente, multiplico ambos os lados por y para obter y' e recoloco y=l(1+tfrac1xr)^x^2:
y'=l(1+tfrac1xr)^x^2l(2xlnl(1+tfrac1xr)-xx+1r)

Resposta

y'=l(1+tfrac1xr)^x^2l(2xlnl(1+tfrac1xr)-xx+1r).

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