Passo 1

A gente tem a integral complexa sobre o contorno |z-2|=tfrac12:
Queremos calcular
ointC l[5(z-2)^3+3(z-2)^2-10z-2+7csc zr] ,dz
O conteúdo é a aplicação do Teorema dos Resíduos, então vamos precisar encontrar as singularidades dentro de C e o resíduo em cada uma.

Passo 2

O primeiro passo é identificar as singularidades de cada parcela do integrando dentro do círculo de raio tfrac12 centrado em z=2:
  • As funções 5/(z-2)^3,;3/(z-2)^2,;-10/(z-2) têm singularidade em z=2.
  • A função 7csc z tem polos em z=kpi, para kin Z. O mais próximo é z=0, mas |0-2|=2>tfrac12, então nenhum polo de csc z fica dentro de C.

Passo 3

Agora vamos achar o resíduo em z=2. Como é uma singularidade de ordem até 3, mas a gente só precisa do coeficiente de (z-2)^-1 na expansão em série de Laurent:
  • 5/(z-2)^3 não contribui para o termo (z-2)^-1).
  • 3/(z-2)^2 também não contribui para (z-2)^-1).
  • -10/(z-2) contribui com coeficiente -10.
  • 7csc z é analítica em z=2, logo sua expansão em potências de (z-2) não tem termo (z-2)^-1).
    Portanto o resíduo em z=2 é
Resz=2 = -10

Passo 4

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
ointC f(z),dz = 2pi i sumpólos dentro Res = 2pi i cdot(-10) = -20pi i ó

Resposta

-20 pi i

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