Encontre as derivadas das funûÏûçes
y=1tan ^3 3 x

Passo 1

O exercício pede a derivada da função y=1tan^3(3x). O conteúdo aqui é derivada de função composta, então vamos usar principalmente a regra da cadeia e saber que a derivada de tan u é sec^2 u.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a função num formato que facilita aplicar a regra da cadeia:
y = l(tan^3(3x)r)^-1

Passo 3

Em seguida, aplicamos a regra da cadeia à potência u^-1, sabendo que (u^-1)' = -u^-2cdot u':
y' = -l(tan^3(3x)r)^-2 cdot ddxl(tan^3(3x)r)

Passo 4

Agora, derivamos tan^3(3x). De novo usamos a regra da cadeia: primeiro a potência v^3 e depois tan(3x):
ddxl(tan^3(3x)r) = 3tan^2(3x) cdot ddxl(tan(3x)r)

Passo 5

E ddxtan(3x) = sec^2(3x) cdot 3. Então fica:
ddxl(tan^3(3x)r) = 3tan^2(3x) cdot (3sec^2(3x)) = 9tan^2(3x)sec^2(3x)

Passo 6

Substituindo de volta em y' e simplificando:
y' = -l(tan^3(3x)r)^-2 cdot 9tan^2(3x)sec^2(3x) = -9,tan^2(3x)tan^6(3x)sec^2(3x) = -9,sec^2(3x)tan^4(3x)

Resposta

y' = -9sec^2(3x)tan^4(3x)

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