Encontre as derivadas das funûÏûçes
y=sec ^4 10 x

Passo 1

Temos a função que queremos derivar: y = sec⁴(10x). O conteúdo aqui é derivada de função composta, então vamos precisar da regra da cadeia e da derivada da secante.

Passo 2

Vamos definir uma função intermediária para aplicar a regra da cadeia. Seja u = sec(10x). Então podemos reescrever y como y = u⁴.

Passo 3

Para derivar y em relação a u, aplicamos a derivada de potência: dy/du = 4u³.

Passo 4

Agora derivamos u em relação a x. Como u = sec(10x), usamos que d/dz[sec(z)] = sec(z)·tan(z) e d/dx[10x] = 10. Logo du/dx = sec(10x)·tan(10x)·10.

Passo 5

Pela regra da cadeia temos dy/dx = (dy/du)·(du/dx). Substituindo dy/du e du/dx obtemos dy/dx = 4u³ · (10 sec(10x) tan(10x)). Como u = sec(10x), fica dy/dx = 40 sec⁴(10x) tan(10x).

Resposta

y' = 40,sec^4(10x),tan(10x)

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