Encontre as derivadas das funûÏûçes
y=raizsin 3 x

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada de y=raizsin(3x). Isso envolve funções compostas (raiz e seno), então vamos usar a regra da cadeia e conhecer a derivada de sin(x).

Passo 2

Vamos definir uma função intermediária para organizar a cadeia. Seja u = sin(3x). Assim, podemos reescrever y como y = u^1/2. Pela regra da cadeia, temos
dydx = dydu cdot dudx

Passo 3

Calculamos cada parte:
– Para y = u^1/2, a derivada em relação a u é
dydu = 12 u^-1/2 = 12raizu
– Para u = sin(3x), a derivada em relação a x exige a regra da cadeia de novo (seno e multiplicação interna):
dudx = cos(3x) cdot 3 = 3cos(3x)

Passo 4

Agora, juntando tudo pela regra da cadeia e substituindo u=sin(3x), obtemos
dydx = 12raizu cdot l(3cos(3x)r) = 3cos(3x)2raizsin(3x)

Resposta

3cos(3x)2raizsin(3x)

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