Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo
(f(x)=\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função usando a regra da cadeia e propriedades de derivadas. O conteúdo principal é derivada de funções compostas e potências.

Passo 2

Reescrevemos a função como composição para aplicar a regra da cadeia: definimos u(x)=1+v(x) e v(x)=x^{1/3}, de modo que f(x)=u(x)^{1/2}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia: f’(x)=f’_u(u(x))⋅u’(x), onde f’_u(t)=\tfrac12 t^{-1/2}. Então
f'(x)=12l(1+x^1/3r)^-1/2cdot u'(x)

Passo 4

Agora derivamos u(x)=1+v(x). Como a constante some, u’(x)=v’(x). Como v(x)=x^{1/3},
v'(x)=13 x^-2/3

Passo 5

Substituindo, temos
f'(x)=12l(1+x^1/3r)^-1/2cdot13 x^-2/3

Passo 6

Por fim, simplificamos constantes e reescrevemos em forma mais compacta.
f'(x)=16,x^2/3raiz1+x^1/3

Resposta

f'(x)=16,x^2/3raiz1+x^1/3

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