Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo
(f(x)=\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}\
(f(x)=\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}\
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função usando a regra da cadeia e propriedades de derivadas. O conteúdo principal é derivada de funções compostas e potências.
Passo 2
Reescrevemos a função como composição para aplicar a regra da cadeia: definimos u(x)=1+v(x) e v(x)=x^{1/3}, de modo que f(x)=u(x)^{1/2}.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia: f’(x)=f’_u(u(x))⋅u’(x), onde f’_u(t)=\tfrac12 t^{-1/2}. Então
Passo 4
Agora derivamos u(x)=1+v(x). Como a constante some, u’(x)=v’(x). Como v(x)=x^{1/3},
Passo 5
Substituindo, temos
Passo 6
Por fim, simplificamos constantes e reescrevemos em forma mais compacta.