Encontre e esboce o gráfico dos seguintes campos escalares.
f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=-x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre e esboce o gráfico do campo escalar
f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\qquad f(x,y) = -x^{2}+y^{2}.
Informações dadas:
f(x,y) = -x^{2}+y^{2}\quad\text{para todos }(x,y)\in\mathbb{R}^2.
O que é pedido:
  • Identificar as características principais da superfície definida por z=f(x,y) (pontos críticos, tipo do ponto crítico).
  • Descrever as curvas de nível (contornos) f(x,y)=c.
  • Fornecer elementos que permitam esboçar o gráfico 3D (formas das secções, direções de subida/descida).
    Não vou resolver nada ainda aqui; só deixei claro o que foi pedido e os dados que temos.

Passo 2

Encontro de pontos críticos e classificação — passo a passo e com a teoriazinha mastigada.
Definição rápida: ponto crítico de f é um ponto onde o gradiente \nabla f é o vetor zero. O gradiente aponta na direção de maior crescimento de f.
Calcule o gradiente:
\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y.
Logo
\nabla f(x,y) = (-2x,\,2y).
Encontramos pontos críticos resolvendo \nabla f(x,y)=(0,0):
-2x=0\Rightarrow x=0,\qquad 2y=0\Rightarrow y=0.
Portanto o único ponto crítico é (0,0).
Classificação do ponto crítico usando a matriz Hessiana: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas,
H_f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\[4pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}.
Aqui
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2,\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2,\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0.
Logo
H_f(0,0)=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Os autovalores dessa matriz são -2 e 2 (pois é diagonal). Como os autovalores têm sinais opostos, (0,0) é um ponto de sela (saddle point) — isto é, nem máximo nem mínimo: a superfície sobe numa direção e desce noutra.]

Passo 3

Curvas de nível (contornos) — derivação e interpretação didática.
As curvas de nível são as soluções de
f(x,y)=c \quad\Longleftrightarrow\quad -x^{2}+y^{2}=c.
Reescrevendo,
y^{2}-x^{2}=c.
Observe que essa equação é a equação geral de uma família de hipérboles (ou retas degeneradas quando c=0). Analise por casos:
  • Se c=0: temos
y^{2}-x^{2}=0\iff (y-x)(y+x)=0,
ou seja, as duas retas
y = x\qquad\text{e}\qquad y = -x.
Essas são as assimptotas das hipérboles que aparecem para c\neq 0.
  • Se c>0: podemos escrever
\frac{y^{2}}{c}-\frac{x^{2}}{c}=1,
que é uma hipérbole com eixos principais no sentido do eixo y: suas aberturas ficam voltadas para cima e para baixo (direção y). As assimptotas são y=\pm x.
  • Se c<0: coloque c=-k com k>0 e obtemos
\frac{x^{2}}{k}-\frac{y^{2}}{k}=1,
outra hipérbole, agora com aberturas ao longo do eixo x (direção x). Novamente as assimptotas são y=\pm x.
Resumo das curvas de nível:
  • c=0: retas y=\pm x.
  • c>0: hipérboles que se abrem para +\hat{y} e -\hat{y}.
  • c<0: hipérboles que se abrem para +\hat{x} e -\hat{x}.
Exemplo concreto para esboço: para c=1 a curva é y^{2}-x^{2}=1; para c=-1 é y^{2}-x^{2}=-1.

Passo 4

Secções (cortes) por planos coordenados — entender o comportamento 3D olhando fatias.
Cortes importantes:
  • Corte por plano y=0: então
z = f(x,0) = -x^{2}.
Isso é uma parábola voltada para baixo (pico em (0,0,0)). Ou seja, ao longo do eixo x a superfície desce do ponto (0,0,0).
  • Corte por plano x=0: então
z = f(0,y) = y^{2},
que é uma parábola voltada para cima (vale mínimo em (0,0,0)). Ou seja, ao longo do eixo y a superfície sobe a partir de (0,0,0).
Interpretação didática: na direção do eixo x você vê um máximo local (a origem parece um máximo olhando só no sentido x); na direção do eixo y você vê um mínimo local. Essa mistura de “máximo numa direção e mínimo noutra” é exatamente a ideia de uma sela.

Passo 5

Mudança de coordenadas que simplifica a superfície e revela que é uma sela bem clássica.
Faça a mudança linear (rotação + escala simples):
u = y + x,\qquad v = y - x.
Reescrevendo x e y:
y = \frac{u+v}{2},\qquad x = \frac{u-v}{2}.
Calcule z em termos de u,v:
z = -x^{2}+y^{2} = y^{2}-x^{2} = \frac{(u+v)^{2}-(u-v)^{2}}{4} = \frac{4uv}{4} = uv.
Portanto, na coordenada (u,v) a superfície é simplesmente
z = u v.
Isto é muito didático: a forma z=uv é a expressão canônica de uma sela (paraboloide hiperbólico). A vantagem prática: para cada u= constante a superfície restringida é uma reta em v (e vice‑versa), o que mostra que a superfície é “ruled” — contém famílias de retas. Isso facilita o esboço: podemos desenhar linhas retas gerando a superfície.

Passo 6

Como esboçar o gráfico — receita prática passo a passo (faça na folha com lápis).
  1. Desenhe os eixos x, y no plano horizontal (plano do papel) e o eixo z vertical saindo do ponto de origem (0,0).
  2. Marque as retas no plano xy: y=x e y=-x (essas serão as assimptotas das curvas de nível). Elas cruzam a origem.
  3. Desenhe algumas curvas de nível no plano xy:
    • Para c=1: desenhe a hipérbole y^{2}-x^{2}=1 (ramos abertos para cima e para baixo).
    • Para c=2: outra hipérbole mais afastada.
    • Para c=-1: desenhe a hipérbole y^{2}-x^{2}=-1 (ramos abertos para a direita e esquerda).
      Essas curvas mostram onde o nível z=c corta a superfície.
  4. Use secções verticais para modelar a altura:
    • Ao longo da linha x=0 (eixo y) a superfície sobe como z=y^{2}.
    • Ao longo da linha y=0 (eixo x) a superfície desce como z=-x^{2}.
  5. Visualize a sela: para y grande e x pequeno z é grande e positivo; para x grande e y pequeno z é grande e negativo. No centro, (0,0,0) é ponto de sela.
  6. (Opcional, se quiser enriquecer o esboço) desenhe algumas retas geradoras usando a parametrização via u e v: por exemplo fixe u=u_{0} e deixe v variar — isso dá linhas sobre a superfície que ajudam a ver sua curvatura de sela.
Dica prática: ao esboçar, faça primeiro a linha de crista no sentido y (subida) e a linha de vale no sentido x (descida), e depois “estique” a superfície entre essas direções; as curvas de nível ajudam a posicionar as alturas.

Passo 7

Resumo das propriedades importantes para lembrar na prova (companheiro de bolso):
  • A superfície z=-x^{2}+y^{2} é um paraboloide hiperbólico (sela).
  • Curvas de nível: y^{2}-x^{2}=c (hipérboles para c\neq 0, retas y=\pm x para c=0).
  • Ponto crítico: (0,0) é ponto de sela (Hessiana com autovalores -2 e 2).
  • Secções: por x=0 obtém-se z=y^{2} (parábola para cima); por y=0 obtém-se z=-x^{2} (parábola para baixo).
  • Mudança de coordenadas u=y+x,\;v=y-x leva a z=uv, o que mostra claramente a natureza de sela e que a superfície contém famílias de retas (é ruled).

Resposta

Superfície: paraboloide hiperbólico (sela).
Curvas de nível: y^{2}-x^{2}=c (para c>0 hipérboles abertas para y; para c<0 hipérboles abertas para x; para c=0 as retas y=\pm x).
Ponto crítico: (0,0) é ponto de sela (Hessiana com autovalores -2 e 2).

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