Encontre e esboce os conjuntos de nível dos seguintes campos escalares.
nível
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre e esboce o conjunto de nível correspondente ao nível
do campo escalar dado. As informações que temos são:
e o nível pedido é
. Portanto devo determinar o conjunto
Passo 2
Vou escrever explicitamente a equação do nível
. Substituindo
temos:
Agora isolo
:
Essa é a equação cartesiana do conjunto de nível.
Passo 3
Interpretação geométrica da equação
.
- A expressão
cresce quando ou aumentam; ela é sempre . - Como
é igual a essa soma mais , os pontos com coordenadas próximas de têm próximo de , e quando se afastam, cresce quadráticamente. - Isso caracteriza uma superfície quadrática do tipo paraboloide circular voltado para cima (em relação ao eixo
), com eixo de simetria coincidindo com o eixo .
Passo 4
Análise das seções horizontais (fácil de desenhar na prova):
- Cortando a superfície por um plano horizontal
, substituo na equação e obtenho
- Se
então e não existem reais satisfazendo a igualdade — logo não há interseção abaixo de . - Se
então , ou seja, somente o ponto . - Se
então é um círculo de raio situado no plano .
Exemplos numéricos fáceis para a prova:
- Para
: — círculo de raio a altura . - Para
: — círculo de raio a altura .
Passo 5
Parâmetros úteis (para entender e desenhar): uso coordenadas polares no plano
. Seja
e
. Faço
Substituindo em
obtenho a parametrização
com
. Isso mostra explicitamente a forma de taça do paraboloide: para cada raio
no plano
há uma altura
.
Passo 6
Como esboçar (passo a passo, sem régua):
- Desenhe um sistema de eixos e marque o eixo
vertical. - Marque o vértice da parábola em
— esse é o ponto mais baixo da superfície. - Em seguida, desenhe algumas seções horizontais: por exemplo o círculo de raio
no plano , o círculo de raio no plano , e um círculo pequeno de raio em . - Una suavemente esses círculos formando uma superfície lisa que abre para cima (parecida com uma taça ou paraboloide).
- Indique que não há pontos para
(região vazia abaixo do vértice).
Dica motivadora: se você desenhar três círculos bem posicionados e ligar suavemente, o professor já vai entender que você sabe o que é o paraboloide — não precisa desenhar a superfície inteira.