Encontre e esboce os conjuntos de nível dos seguintes campos escalares.
f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=z-x^{2}-y^{2} ( nível k=1)

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre e esboce o conjunto de nível correspondente ao nível k=1 do campo escalar dado. As informações que temos são:
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\qquad f(x,y,z)=z-x^2-y^2
e o nível pedido é k=1. Portanto devo determinar o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid f(x,y,z)=1\}.

Passo 2

Vou escrever explicitamente a equação do nível k=1. Substituindo f(x,y,z)=1 temos:
z-x^2-y^2=1.
Agora isolo z:
z = x^2 + y^2 + 1.
Essa é a equação cartesiana do conjunto de nível.

Passo 3

Interpretação geométrica da equação \;z = x^2 + y^2 + 1\;.
  • A expressão x^2+y^2 cresce quando |x| ou |y| aumentam; ela é sempre \ge 0.
  • Como z é igual a essa soma mais 1, os pontos com coordenadas (x,y) próximas de (0,0) têm z próximo de 1, e quando (x,y) se afastam, z cresce quadráticamente.
  • Isso caracteriza uma superfície quadrática do tipo paraboloide circular voltado para cima (em relação ao eixo z), com eixo de simetria coincidindo com o eixo z.

Passo 4

Análise das seções horizontais (fácil de desenhar na prova):
  • Cortando a superfície por um plano horizontal z=c, substituo na equação e obtenho
x^2+y^2 = c-1.
  • Se c<1 então c-1<0 e não existem x,y reais satisfazendo a igualdade — logo não há interseção abaixo de z=1.
  • Se c=1 então x^2+y^2=0, ou seja, somente o ponto (0,0,1).
  • Se c>1 então x^2+y^2=c-1 é um círculo de raio \sqrt{c-1} situado no plano z=c.
Exemplos numéricos fáceis para a prova:
  • Para z=2: x^2+y^2=1 — círculo de raio 1 a altura 2.
  • Para z=5: x^2+y^2=4 — círculo de raio 2 a altura 5.

Passo 5

Parâmetros úteis (para entender e desenhar): uso coordenadas polares no plano xy. Seja r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). Faço
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Substituindo em \;z = x^2+y^2+1\; obtenho a parametrização
(x,y,z) = \big(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r^2+1\big),
com r\ge 0,\\ \theta\in[0,2\pi). Isso mostra explicitamente a forma de taça do paraboloide: para cada raio r no plano xy há uma altura z=r^2+1.

Passo 6

Como esboçar (passo a passo, sem régua):
  1. Desenhe um sistema de eixos e marque o eixo z vertical.
  2. Marque o vértice da parábola em (0,0,1) — esse é o ponto mais baixo da superfície.
  3. Em seguida, desenhe algumas seções horizontais: por exemplo o círculo de raio 1 no plano z=2, o círculo de raio 2 no plano z=5, e um círculo pequeno de raio 1/2 em z=1{,}25.
  4. Una suavemente esses círculos formando uma superfície lisa que abre para cima (parecida com uma taça ou paraboloide).
  5. Indique que não há pontos para z<1 (região vazia abaixo do vértice).
Dica motivadora: se você desenhar três círculos bem posicionados e ligar suavemente, o professor já vai entender que você sabe o que é o paraboloide — não precisa desenhar a superfície inteira.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = x^2 + y^2 + 1\} — paraboloide circular com vértice em (0,0,1), eixo de simetria ao longo do eixo z; seções horizontais z=c são círculos de raio \sqrt{c-1} para c>1, única interseção em z=1 é o ponto (0,0,1).

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