Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=+infty, lim x x0 g(x)=a in R backslash0, h(x)=g(x)f(x)

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções f e g definidas em DsubsetR e um ponto x0in D' tais que
limxto x0f(x)=+infty e limxto x0g(x)=a,;ainRsetminus0
Definimos
h(x)=g(x)f(x)
e queremos discutir o comportamento de h em torno de x0. O conteúdo da matéria é regras de cálculo de limites, em particular o limite de quociente quando o denominador diverge.

Passo 2

Primeiro, como limxto x0g(x)=a com a finito, existe uma vizinhança de x0 onde lvert g(x)rvert é limitada (por exemplo, lvert g(x)rvert<= M para algum M>0). Por outro lado, limxto x0f(x)=+infty implica que em qualquer vizinhança de x0 temos lvert f(x)rvert arbitrariamente grande, além de f(x)neq0. Logo h(x) está bem definida nessas proximidades de x0 (exceto talvez em x0 em si).

Passo 3

Aplicamos o teorema de limites que diz: se limxto x0u(x)=LinR e limxto x0v(x)=pminfty, então
limxto x0u(x)v(x)=0
Aqui u(x)=g(x) tem limite finito a e v(x)=f(x) diverge para +infty. Portanto
limxto x0h(x) =limxto x0g(x)f(x) =0

Resposta

limxto x0h(x)=0

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