Encontre as derivadas parciais de 1^a ordem das seguintes funções:
c) f(x, y)=ln (4 x^3+x y^2)

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y)=lnl(4x^3+xy^2r). Vamos usar conceitos de derivada parcial e a regra da cadeia em funções compostas, além das derivadas de ln e de polinômios.

Passo 2

Definimos a função interna u(x,y)=4x^3+xy^2. Pela regra da cadeia, a derivada parcial de f em relação a x é dada por partialx f=1u(x,y),partialx u(x,y).
Calculamos partialx u(x,y). Como u(x,y)=4x^3+xy^2, temos partialx u=12x^2+y^2. Substituindo,
partialx f(x,y)=12x^2+y^24x^3+xy^2

Passo 3

Para partialy f, aplicamos a mesma ideia: partialy f=1u(x,y),partialy u(x,y).
Calculamos partialy u(x,y). Como u(x,y)=4x^3+xy^2, temos partialy u=2xy. Substituindo,
partialy f(x,y)=2xy4x^3+xy^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
partialx f(x,y)=12x^2+y^24x^3+xy^2,partialy f(x,y)=2xy4x^3+xy^2

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