Encontre as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y nos casos abaixo:
f(x, y, z)=z^x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de f(x,y,z)=z^xy em relação a x e y. Vamos usar conteúdo de derivada de função composta, logaritmo e regra do produto.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f usando exponencial para facilitar a aplicação da cadeia:
f(x,y,z)=z^xy=e^xy,ln z
Aqui usamos que a^b=e^b,ln a.

Passo 3

Para calcular partial f/partial x, aplicamos a regra da cadeia. Escrevendo u(x,y,z)=xy,ln z, temos
partial fpartial x=e^u(x,y,z)cdotpartial upartial x
Como u=xy,ln z e partial (xy)/partial x=y, resulta
partial upartial x=y,ln z
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partial fpartial x=e^xy,ln zcdot y,ln z=y,e^xy,ln z,ln z=y,z^xy,ln z

Passo 4

Para partial f/partial y, o processo é análogo. Definindo o mesmo u=xy,ln z,
partial fpartial y=e^ucdotpartial upartial y
Agora partial (xy)/partial y=x, então
partial upartial y=x,ln z
E portanto
partial fpartial y=e^xy,ln zcdot x,ln z=x,z^xy,ln z

Resposta

partial fpartial x=y,z^xy,ln zepartial fpartial y=x,z^xy,ln z

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