Resolva as equações diferenciais usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método da variação dos parâmetros, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolve (
) achar a solução geral da homogênea, (
) aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular e (
) somar ambas.
Passo 2
Consideramos a equação homogênea associada
A equação característica é
de modo que há raiz dupla
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a variação de parâmetros, escolhemos as duas soluções independentes
e buscamos
com as condições suplementares
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em cada equação e dividindo por
, obtemos o sistema
Passo 5
Subtraindo a primeira equação da segunda, vem
Então da primeira equação
Passo 6
Integramos para obter
. Como não precisamos das constantes de integração (vão cair em
), tomamos
Passo 7
Montamos a solução particular:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: