Resolva as equações diferenciais usando o método da variação dos parâmetros.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da variação dos parâmetros, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y=e^2x
O conteúdo envolve ( 1) achar a solução geral da homogênea, ( 2) aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular e ( 3) somar ambas.

Passo 2

Consideramos a equação homogênea associada
y''-2y'+y=0
A equação característica é
r^2-2r+1=0Longrightarrow(r-1)^2=0,
de modo que há raiz dupla r=1. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1e^x + C2,x e^x

Passo 3

Para a variação de parâmetros, escolhemos as duas soluções independentes
y1(x)=e^x, y2(x)=x e^x
e buscamos
yp(x)=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)
com as condições suplementares
u1'(x)y1(x)+u2'(x)y2(x)=0,[6pt] u1'(x)y1'(x)+u2'(x)y2'(x)=e^2x ]

Passo 4

Calculamos as derivadas de y1,y2:
y1'(x)=e^x, y2'(x)=e^x + x e^x=(x+1)e^x
Substituindo em cada equação e dividindo por e^x, obtemos o sistema
u1'+x,u2'=0,[4pt] u1'+(x+1)u2'=e^x ]

Passo 5

Subtraindo a primeira equação da segunda, vem
u2'l((x+1)-xr)=e^x Longrightarrow u2' = e^x
Então da primeira equação
u1' = -x,u2' = -x e^x

Passo 6

Integramos para obter u1,u2. Como não precisamos das constantes de integração (vão cair em yh), tomamos
u2(x)=integral e^x,dx = e^x, u1(x)=integral -x e^x,dx = -l(xe^x - e^xr)=e^x(1-x)

Passo 7

Montamos a solução particular:
yp = u1y1 + u2y2 = l(e^x(1-x)r)e^x + l(e^xr)(x e^x) = (1-x)e^2x + x e^2x = e^2x

Passo 8

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=yh+yp = C1e^x + C2,x e^x + e^2x

Resposta

boxedy(x)=C1e^x + C2x e^x + e^2x

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