Mostre que se
for contínua em um ponto (
) e
, então existe
tal que
para todo
com
Passo 1
Estamos vendo um problema de continuidade de funções de duas variáveis: dado que f é contínua em (x₀,y₀) e f(x₀,y₀)=1, precisamos mostrar que em alguma vizinhança de (x₀,y₀) a função permanece positiva.
Passo 2
Para aproveitar a continuidade, escolhemos um ε que nos ajude a garantir positividade. Uma boa escolha é ε=1/2, pois f(x₀,y₀)=1 e 1−1/2=1/2>0.
Passo 3
Pela definição de continuidade em (x₀,y₀), existe δ>0 tal que sempre que a norma ‖(x−x₀,y−y₀)‖<δ temos
Passo 4
Passo 5
Como f(x₀,y₀)=1, a desigualdade acima dá
Passo 6
Passo 7
Logo, basta tomar r=δ para garantir que em toda bola de raio r centrada em (x₀,y₀) vale f(x,y)>0.
Resposta
Escolhendo ε=1/2, seja δ>0 dado pela continuidade. Então, tomando r=δ, temos f(x,y)>0 sempre que ||(x−x₀,y−y₀)||<r.