Mostre que se f: R^2 R for contínua em um ponto ( x0, y0 ) e f(x0, y0)=1, então existe r>0 tal que f(x, y)>0 para todo (x, y) com |(x-x0, y-y0)|<r

Passo 1

Estamos vendo um problema de continuidade de funções de duas variáveis: dado que f é contínua em (x₀,y₀) e f(x₀,y₀)=1, precisamos mostrar que em alguma vizinhança de (x₀,y₀) a função permanece positiva.

Passo 2

Para aproveitar a continuidade, escolhemos um ε que nos ajude a garantir positividade. Uma boa escolha é ε=1/2, pois f(x₀,y₀)=1 e 1−1/2=1/2>0.

Passo 3

Pela definição de continuidade em (x₀,y₀), existe δ>0 tal que sempre que a norma ‖(x−x₀,y−y₀)‖<δ temos

Passo 4

|f(x,y) - f(x₀,y₀)| < tfrac12

Passo 5

Como f(x₀,y₀)=1, a desigualdade acima dá

Passo 6

|f(x,y) - 1| < tfrac12 implies -tfrac12 < f(x,y) - 1 < tfrac12 implies f(x,y) > 1 - tfrac12 = tfrac12 > 0

Passo 7

Logo, basta tomar r=δ para garantir que em toda bola de raio r centrada em (x₀,y₀) vale f(x,y)>0.

Resposta

Escolhendo ε=1/2, seja δ>0 dado pela continuidade. Então, tomando r=δ, temos f(x,y)>0 sempre que ||(x−x₀,y−y₀)||<r.

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