Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de
z=\sqrt{(1 - x{2/3})3 - y^2}. O conteúdo envolvido é derivada parcial e vamos usar as regras do poder e a regra da cadeia.

Passo 2

Para facilitar, defino uma função auxiliar F(x,y) e escrevo z em função de F:
F(x,y) = (1 - x^tfrac23)^3 - y^2,
z = raizF(x,y) = F(x,y)^tfrac12
Aqui já fico com z como potência de F, o que me permite aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Segundo a regra da cadeia para derivadas parciais, tenho
partial zpartial x = 12 F(x,y)^-tfrac12 partial Fpartial x,
partial zpartial y = 12 F(x,y)^-tfrac12 partial Fpartial y
Agora preciso de partial F/partial x e partial F/partial y.

Passo 4

Calculo partial F/partial x aplicando a regra do poder e a cadeia em (1 - x^2/3)^3:
partialpartial x(1 - x^tfrac23)^3 = 3(1 - x^tfrac23)^2 cdot partialpartial x(1 - x^tfrac23) = 3(1 - x^tfrac23)^2 cdot l(-tfrac23x^-tfrac13r) = -2(1 - x^tfrac23)^2 x^-tfrac13
E claro
partial Fpartial y = partialpartial yl(-y^2r) = -2y

Passo 5

Substituo esses resultados nas fórmulas da cadeia e simplifico:
Para partial z/partial x:
partial zpartial x = 12F^-tfrac12 l[-2(1 - x^tfrac23)^2 x^-tfrac13r] = -(1 - x^tfrac23)^2 x^-tfrac13F^tfrac12
Para partial z/partial y:
partial zpartial y = 12F^-tfrac12(-2y) = -yF^tfrac12
Onde F= (1 - x^2/3)^3 - y^2.

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -(1 - x^tfrac23)^2,x^-tfrac13raiz(1 - x^tfrac23)^3 - y^2,
partial zpartial y = -yraiz(1 - x^tfrac23)^3 - y^2

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