Se h(z) tiver um zero de ordem 2 , (5) da Seção 6.4 indica que phi, onde z=z0 é analítica em f(z)=g(z) / h(z) e n=2. Com 2 em z=z0, use (2) com para obter uma fórmula, análoga a (4), para o cálculo de em um polo de ordem .

Passo 1

No enunciado, foi dito que h(z) tem zero de ordem 2 em z₀, logo h(z)= (z−z₀)²φ(z)² com φ analítica e φ(z₀)≠0. Como f(z)=g(z)/h(z), f tem polo de ordem 2 em z₀. Vamos usar a fórmula geral de resíduo em polo de ordem n.

Passo 2

Lembrando a fórmula geral para o resíduo em um polo de ordem n:
Res(f,z₀)=1(n-1)!limzto z₀d^n-1dz^n-1l[(z−z₀)^n f(z)r]
Aqui temos n=2, então
Res(f,z₀)=limzto z₀ddzl[(z−z₀)^2 f(z)r]

Passo 3

Como h(z)=(z−z₀)²φ(z), segue que
(z−z₀)^2 f(z)=g(z)φ(z)
Portanto, o resíduo é
Res(f,z₀)=limzto z₀ddzl(g(z)φ(z)r)

Passo 4

Para derivar a razão, usamos a regra do quociente:
ddzl(gφr)=g'φ−gφ'φ^2
Logo, avaliando em z=z₀, obtemos
Res(f,z₀)=g'(z₀),φ(z₀)−g(z₀),φ'(z₀)[φ(z₀)]^2

Resposta

\displaystyle\mathrm{Res}(f,z₀)=\frac{g’(z₀),φ(z₀)−g(z₀),φ’(z₀)}{[φ(z₀)]^2}

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