Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de z=(sin(x^2y))^3. O tema é derivadas parciais e vamos usar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Observando a composição, definimos t=x^2y, depois u=sin(t) e enfim z=u^3. A regra da cadeia diz que derivamos cada etapa e multiplicamos as derivadas.
Calculamos as derivadas de cada estágio: partial zpartial u=3u^2, partial upartial t=cos(t), partial tpartial x=2xy e partial tpartial y=x^2.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para x: partial zpartial x=partial zpartial ucdotpartial upartial tcdotpartial tpartial x=3u^2cdotcos(t)cdot2xy. Substituindo u=sin(t) e t=x^2y obtemos partial zpartial x=6xy(sin(x^2y))^2cos(x^2y).
De modo semelhante para y: partial zpartial y=3u^2cdotcos(t)cdot x^2, e substituindo chegamos a partial zpartial y=3x^2(sin(x^2y))^2cos(x^2y).

Resposta

partial zpartial x=6xy(sin(x^2y))^2cos(x^2y),partial zpartial y=3x^2(sin(x^2y))^2cos(x^2y)

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