Seja f(z)=1 /[p(z)]^2, onde p(z) tem um zero de ordem 1 em z=z0.
(a) Use o Problema 41 para obter a fórmula z=0.
(b) Use a parte (a) para determinar o resíduo de em .

Passo 1

O enunciado pede o resíduo de
f(z)=1[p(z)]^2
onde p(z) tem um zero simples (de ordem 1) em z=z0. O conteúdo é cálculo de resíduos em polos de ordem 2: vamos usar expansão em série de Taylor de p(z) em torno de z0 e extrair na série de Laurent de f(z) o coeficiente de (z-z0)^-1. Precisamos calcular p'(z0) e p''(z0) e usar o Problema 41, que fornece a expressão para o resíduo a partir do coeficiente de (z-z0)^-1.

Passo 2

Expandimos p(z) em torno de z0:
p(z)=p'(z0)(z-z0)+p''(z0)2(z-z0)^2+cdots
Então
p(z)^2=p'(z0)^2, (z-z0)^2igl(1+p''(z0)p'(z0)(z-z0)+cdotsr) 
Invertemos para obter f(z)=1/p(z)^2:
f(z)=1p'(z0)^21(z-z0)^2igl(1+p''(z0)p'(z0)(z-z0)+cdotsr)^-1 =1p'(z0)^21(z-z0)^2l(1-2p''(z0)p'(z0)(z-z0)+cdotsr) 
Dessa expansão, o coeficiente de (z-z0)^-1 é
Res(f,z0)=-2p''(z0)p'(z0)1p'(z0)^2=-p''(z0)[p'(z0)]^3

Passo 3

Agora aplicamos para p(z)=z^2-z=z(z-1) em z0=0. Temos
p'(z)=2z-1implies p'(0)=-1, p''(z)=2implies p''(0)=2
Logo,
$$
\operatorname{Res}\bigl(f,0\bigr)=-\frac{p’’(0)}{[p’(0)]3}=-\frac{2}{(-1)3}=2.
$$

Resposta

2

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