Seja
, onde
tem um zero de ordem
.
(a) Use o Problema 41 para obter a fórmula
.
(b) Use a parte (a) para determinar o resíduo de
em
.
(a) Use o Problema 41 para obter a fórmula
(b) Use a parte (a) para determinar o resíduo de
Passo 1
O enunciado pede o resíduo de
onde tem um zero simples (de ordem 1) em
. O conteúdo é cálculo de resíduos em polos de ordem 2: vamos usar expansão em série de Taylor de
em torno de
e extrair na série de Laurent de
o coeficiente de
. Precisamos calcular
e
e usar o Problema 41, que fornece a expressão para o resíduo a partir do coeficiente de
.
onde
Passo 2
Expandimos
em torno de
:
Então
Invertemos para obter
:
Dessa expansão, o coeficiente de
é
Passo 3
Agora aplicamos para
em
. Temos
Logo,
$$
\operatorname{Res}\bigl(f,0\bigr)=-\frac{p’’(0)}{[p’(0)]3}=-\frac{2}{(-1)3}=2.
$$
Resposta
2