Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y, z)=x^2 y^5+x z^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y,z)=x^2y^5 + xz^2. O conteúdo aqui é derivação parcial, em que derivamos em relação a uma variável mantendo as demais constantes. Vamos usar as regras básicas de derivação: da potência e da constante multiplicativa.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y e z como constantes e derivamos termo a termo. A derivada de x^2y^5 em relação a x é 2x y^5 (pela regra d(x^n)/dx = n x^n-1 multiplicado pela constante y^5) e a derivada de x z^2 em relação a x é z^2. Portanto,
partial fpartial x = 2x y^5 + z^2

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x e z como constantes. A derivada de x^2y^5 em relação a y é 5x^2 y^4 e a derivada de x z^2 em relação a y é zero (pois não depende de y). Logo,
partial fpartial y = 5x^2 y^4

Passo 4

Para calcular partial fpartial z, tratamos x e y como constantes. A derivada de x^2y^5 em relação a z é zero e a derivada de x z^2 em relação a z é 2x z. Assim,
partial fpartial z = 2x z

Resposta

partial fpartial x = 2x y^5 + z^2, partial fpartial y = 5x^2 y^4, partial fpartial z = 2x z.

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