Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y, z)=x+y+zx y+y z+z x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z)=\frac{x+y+z}{xy+yz+zx}
. O conteúdo é derivada parcial e vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Identificamos o numerador u=x+y+z e o denominador v=xy+yz+zx. Então
partial upartial x=1
e
partial vpartial x=y+z.

Passo 3

Pela regra do quociente, temos
partial fpartial x =partial upartial x,v - u,partial vpartial xv^2 =1cdot(xy+yz+zx) - (x+y+z)(y+z)(xy+yz+zx)^2

Passo 4

Expandindo e simplificando o numerador:
(xy+yz+zx) - [xy+xz+y^2+2yz+z^2] = -l(y^2+yz+z^2r)
Logo
partial fpartial x=-y^2+yz+z^2(xy+yz+zx)^2

Passo 5

Usando o mesmo raciocínio por simetria, obtemos
partial fpartial y=-z^2+zx+x^2(xy+yz+zx)^2, partial fpartial z=-x^2+xy+y^2(xy+yz+zx)^2

Resposta

partial fpartial x=-y^2+yz+z^2(xy+yz+zx)^2, partial fpartial y=-z^2+zx+x^2(xy+yz+zx)^2, partial fpartial z=-x^2+xy+y^2(xy+yz+zx)^2

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