2 Se w=cos (x-y)+ln (x+y), mostre que partial^2 wpartial x^2-partial^2 wpartial y^2=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função de duas variáveis definida por w(x,y)=cos(x-y)+ln(x+y), vale partial^2 wpartial x^2-partial^2 wpartial y^2=0. O conteúdo principal é diferenciação parcial de segunda ordem e vamos precisar usar a regra da cadeia e as derivadas conhecidas de cos u e ln v.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Para partial wpartial x, tratamos y como constante e aplicamos regra da cadeia em cos(x-y) e derivada de ln(x+y):
partial wpartial x= -sin(x-y)cdot 1 + 1x+ycdot 1 = -sin(x-y)+1x+y
De modo análogo, para partial wpartial y temos:
partial wpartial y= -sin(x-y)cdot(-1) + 1x+ycdot 1 = sin(x-y)+1x+y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem. Para partial^2 wpartial x^2, derivamos -sin(x-y)+1x+y em relação a x:
partial^2 wpartial x^2= -cos(x-y)cdot 1 - 1(x+y)^2
Para partial^2 wpartial y^2, derivamos sin(x-y)+1x+y em relação a y:
partial^2 wpartial y^2= -cos(x-y)cdot 1 - 1(x+y)^2

Passo 4

Finalmente, basta subtrair essas duas derivadas de segunda ordem:
partial^2 wpartial x^2 - partial^2 wpartial y^2 = l(-cos(x-y)-tfrac1(x+y)^2r) - l(-cos(x-y)-tfrac1(x+y)^2r) = 0

Resposta

0

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