Se
, mostre que
, para toda constante
real.
Passo 1
O enunciado define a função de duas variáveis
e pede para comparar a segunda derivada parcial de
em relação a
com a primeira derivada parcial em relação a
. O conteúdo é derivação parcial de ordem superior.
Passo 2
Para achar
, começamos por
:
O fator
é tratado como constante em relação a
, e
gera
. Logo, temos
Derivando de novo em relação a
, o exponencial continua constante e
dá
. Assim
Passo 3
Agora calculamos
. Desta vez
é constante e derivamos
em relação a
. Usando
, obtemos
Passo 4
Comparando os resultados:
vemos que eles só coincidem se
ou seja, se
. Isto acontece apenas para
(caso trivial) ou para
, e não para todo
e
simultaneamente.
Resposta
Geralmente
e
portanto
só se verifica em casos degenerados (
ou
), não para toda constante real
.