Se w=e^-c t^2 sen(c x), mostre que wx x=wt, para toda constante c real.

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis w(x,t) = e^-c t^2sin(c x) e pede para comparar a segunda derivada parcial de w em relação a x com a primeira derivada parcial em relação a t. O conteúdo é derivação parcial de ordem superior.

Passo 2

Para achar wxx, começamos por wx:
O fator e^-c t^2 é tratado como constante em relação a x, e sin(c x) gera ccos(c x). Logo, temos
wx = e^-c t^2 cdot ccos(c x) = c,e^-c t^2cos(c x)
Derivando de novo em relação a x, o exponencial continua constante e cos(c x) -csin(c x). Assim
wxx = c,e^-c t^2 cdot l(-csin(c x)r) = -c^2,e^-c t^2sin(c x)

Passo 3

Agora calculamos wt. Desta vez sin(c x) é constante e derivamos e^-c t^2 em relação a t. Usando ddte^-c t^2 = -2ct,e^-c t^2, obtemos
wt = l(-2ct,e^-c t^2r)sin(c x) = -2ct,e^-c t^2sin(c x)

Passo 4

Comparando os resultados:
wxx = -c^2e^-c t^2sin(c x),
wt = -2ct,e^-c t^2sin(c x),
vemos que eles só coincidem se
-c^2 = -2ct
ou seja, se c(c-2t)=0. Isto acontece apenas para c=0 (caso trivial) ou para t=c/2, e não para todo c e t simultaneamente.

Resposta

Geralmente
wxx = -c^2e^-c t^2sin(c x)
e
wt = -2ct,e^-c t^2sin(c x),
portanto wxx=wt só se verifica em casos degenerados ( c=0 ou t=c/2), não para toda constante real c.

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