Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
© f(x, y)=5 x^4+6 x y^3+log (2 x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais da função f(x,y)=5x^4+6xy^3+log(2xy). O conteúdo aqui é derivada parcial, ou seja, a gente vai tratar uma variável como constante e derivar em relação à outra. Para isso vamos usar: regra do poder (power rule), regra do produto e regra da cadeia para o logaritmo.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante e derivamos termo a termo: começamos com 5x^4 que vira 20x^3, depois 6x y^3 que vira 6y^3 (porque y^3 é constante) e, por fim, log(2xy). No último usamos regra da cadeia: a derivada de log(u) é u'/u, com u=2xy e u'=2y.

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante e derivamos termo a termo: 5x^4 some, 6x y^3 vira 18xy^2 (power rule em y^3 vezes o fator x constante) e em log(2xy) aplicamos de novo a regra da cadeia. Aqui u=2xy e u'=2x, então a derivada dá 2x/(2xy)=1/y.

Passo 4

Reunindo tudo, obtemos as duas derivadas parciais.

Resposta

partial fpartial x=20x^3+6y^3+1x
partial fpartial y=18xy^2+1y

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