Encontre as derivadas parciais utilizando a regra da cadeia:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: calcular
e para a função composta abaixo. - Dados:
-
. -
. -
.
-
Portanto
é dada em termos de
e
, mas
e
dependem de
e
. Queremos as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja, como
muda quando mexemos em
(com
fixo) e quando mexemos em
(com
fixo).
Passo 2
Regra da cadeia para funções compostas (fórmula que vamos usar) — explicação didática.
Se
e
,
, então a regra da cadeia para derivadas parciais diz:
O que isso significa, em palavras simples: para saber como
varia com
, soma-se a contribuição da variação de
por
multiplicada por quanto
varia por
, mais a contribuição da variação de
por
multiplicada por quanto
varia por
. Cada termo é uma “cadeia” de influência
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais diretas de
em relação a
e a
(tratando a outra variável como constante).
-
Derivando
em relação a , com tratado como constante: A derivada deé . A derivada de em relação a é (porque é tratado como constante). Logo -
Derivando
em relação a , com tratado como constante: A derivada deem relação a é . A derivada de é , com sinal negativo porque tem . Logo
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
(essas são simples porque
e
são funções elementares de
).
-
Como
: Explicação: derivandoem relação a trata-se como constante, então sobra ; em relação a trata-se como constante, então sobra . -
Como
: Explicação:não depende de , por isso a derivada em relação a é zero.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para calcular
passo a passo, substituindo os resultados dos passos anteriores.
Usando a fórmula
substitui-se
,
,
,
. Assim:
Agora expressar em termos de
e
(porque
e
foram dados como funções de
): como
e
,
Fatorando
(opcional, deixa mais compacto):
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para calcular
passo a passo.
Usando
substitui-se
,
,
,
. Então
Expressando em termos de
e
usando
: