Encontre as derivadas parciais utilizando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial v} \text { onde } z=3 x^{2}-4 y^{2}, x=u \cdot v, y=u

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: calcular \dfrac{\partial z}{\partial u} e \dfrac{\partial z}{\partial v} para a função composta abaixo.
  • Dados:
    • z = 3x^{2} - 4y^{2}.
    • x = u\cdot v.
    • y = u.
Portanto z é dada em termos de x e y, mas x e y dependem de u e v. Queremos as derivadas parciais de z em relação a u e v, ou seja, como z muda quando mexemos em u (com v fixo) e quando mexemos em v (com u fixo).

Passo 2

Regra da cadeia para funções compostas (fórmula que vamos usar) — explicação didática.
Se z=z(x,y) e x=x(u,v), y=y(u,v), então a regra da cadeia para derivadas parciais diz:
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial v}.
O que isso significa, em palavras simples: para saber como z varia com u, soma-se a contribuição da variação de z por x multiplicada por quanto x varia por u, mais a contribuição da variação de z por y multiplicada por quanto y varia por u. Cada termo é uma “cadeia” de influência u\to x\to z e u\to y\to z.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais diretas de z em relação a x e a y (tratando a outra variável como constante).
  • Derivando z=3x^{2}-4y^{2} em relação a x, com y tratado como constante:
    \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4y^{2}\bigr)
    A derivada de 3x^{2} é 6x. A derivada de 4y^{2} em relação a x é 0 (porque y é tratado como constante). Logo
    \frac{\partial z}{\partial x}=6x.
  • Derivando z em relação a y, com x tratado como constante:
    \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{d}{dy}\bigl(3x^{2}\bigr)-\frac{d}{dy}\bigl(4y^{2}\bigr)
    A derivada de 3x^{2} em relação a y é 0. A derivada de 4y^{2} é 8y, com sinal negativo porque z tem -4y^{2}. Logo
    \frac{\partial z}{\partial y}=-8y.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v (essas são simples porque x e y são funções elementares de u,v).
  • Como x=u\cdot v:
    \frac{\partial x}{\partial u}=v,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=u.
    Explicação: derivando u\cdot v em relação a u trata-se v como constante, então sobra v; em relação a v trata-se u como constante, então sobra u.
  • Como y=u:
    \frac{\partial y}{\partial u}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=0.
    Explicação: y não depende de v, por isso a derivada em relação a v é zero.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para calcular \dfrac{\partial z}{\partial u} passo a passo, substituindo os resultados dos passos anteriores.
Usando a fórmula
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial u},
substitui-se \dfrac{\partial z}{\partial x}=6x, \dfrac{\partial x}{\partial u}=v, \dfrac{\partial z}{\partial y}=-8y, \dfrac{\partial y}{\partial u}=1. Assim:
\frac{\partial z}{\partial u}=6x\cdot v + (-8y)\cdot 1 = 6xv-8y.
Agora expressar em termos de u e v (porque x e y foram dados como funções de u,v): como x=uv e y=u,
\frac{\partial z}{\partial u}=6(uv)\,v - 8u = 6u v^{2} - 8u.
Fatorando u (opcional, deixa mais compacto):
\frac{\partial z}{\partial u}=u\bigl(6v^{2}-8\bigr).

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para calcular \dfrac{\partial z}{\partial v} passo a passo.
Usando
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial v},
substitui-se \dfrac{\partial z}{\partial x}=6x, \dfrac{\partial x}{\partial v}=u, \dfrac{\partial z}{\partial y}=-8y, \dfrac{\partial y}{\partial v}=0. Então
\frac{\partial z}{\partial v}=6x\cdot u + (-8y)\cdot 0 = 6xu.
Expressando em termos de u e v usando x=uv:
\frac{\partial z}{\partial v}=6(uv)\,u = 6u^{2}v.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial u}=u\bigl(6v^{2}-8\bigr)
\dfrac{\partial z}{\partial v}=6u^{2}v

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