Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{3}-1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{3}-1}
e pede f'(x). O conteúdo é derivação de quociente de funções e vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Se definirmos
u(x)=x^{3}+1,\quad v(x)=x^{3}-1,
então
u'(x)=3x^{2},\quad v'(x)=3x^{2}.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{3x^{2}(x^{3}-1)-(x^{3}+1)\,3x^{2}}{(x^{3}-1)^{2}}.

Passo 4

No numerador podemos fatorar 3x^{2}:
3x^{2}\bigl[(x^{3}-1)-(x^{3}+1)\bigr] =3x^{2}(-2) =-6x^{2}.
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f'(x)=-\frac{6x^{2}}{(x^{3}-1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{6x^{2}}{(x^{3}-1)^{2}}.

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