Encontre as derivadas das seguintes funções:
q(t)=\frac{3 t^{3}-8 t^{2}+1}{t^{2}-5 t}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
q(t) = \frac{3t^{3} - 8t^{2} + 1}{t^{2} - 5t}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente para derivadas, além de derivar polinômios. Vamos definir as funções do numerador e denominador, aplicar a regra e em seguida simplificar.

Passo 2

Seja
f(t) = 3t^{3} - 8t^{2} + 1, \quad g(t) = t^{2} - 5t.
Então
f'(t) = 9t^{2} - 16t, \qquad g'(t) = 2t - 5.

Passo 3

Pela regra do quociente, a derivada é
q'(t) = \frac{f'(t)\,g(t) - f(t)\,g'(t)}{\bigl(g(t)\bigr)^{2}}.

Passo 4

Vamos expandir e simplificar o numerador
N(t) = f'(t)\,g(t) - f(t)\,g'(t).
Primeiro
f'(t)\,g(t) = (9t^{2} - 16t)(t^{2} - 5t) = 9t^{4} - 61t^{3} + 80t^{2},
e
f(t)\,g'(t) = (3t^{3} - 8t^{2} + 1)(2t - 5) = 6t^{4} - 31t^{3} + 40t^{2} + 2t - 5.
Logo
N(t) = \bigl(9t^{4} - 61t^{3} + 80t^{2}\bigr) - \bigl(6t^{4} - 31t^{3} + 40t^{2} + 2t - 5\bigr) = 3t^{4} - 30t^{3} + 40t^{2} - 2t + 5.

Passo 5

Substituindo em q'(t) e mantendo o denominador ao quadrado, temos
q'(t) = \frac{3t^{4} - 30t^{3} + 40t^{2} - 2t + 5}{\bigl(t^{2} - 5t\bigr)^{2}}.

Resposta

q'(t) = \frac{3t^{4} - 30t^{3} + 40t^{2} - 2t + 5}{(t^{2} - 5t)^{2}}.

Exercícios relacionados