Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{2}-4 x+4}{x-1}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional
f(x)=\frac{x^{2}-4x+4}{x-1}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente para derivadas, que afirma que, se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^{2}-4x+4 \quad\text{e}\quad v(x)=x-1.
Logo, precisamos calcular u'(x) e v'(x).

Passo 3

Derivando cada parte:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-4x+4)=2x-4,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(2x-4)(x-1)-(x^{2}-4x+4)\cdot1}{(x-1)^{2}}.

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
(2x-4)(x-1)=2x^{2}-2x-4x+4=2x^{2}-6x+4,
2x^{2}-6x+4-\bigl(x^{2}-4x+4\bigr) =2x^{2}-6x+4-x^{2}+4x-4 =x^{2}-2x.
Portanto
f'(x) =\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}} =\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}.

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