Encontre as derivadas das seguintes funções:
q(s)=\frac{s^{2}}{s^{2}+4}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
q(s) = \frac{s^{2}}{s^{2}+4}.
O conteúdo aqui é a regra do quociente. Para usá-la, identificamos duas funções auxiliares:
f(s) = s^{2}, \quad g(s) = s^{2} + 4,
e saberemos que
q'(s) = \frac{f'(s)\,g(s) - f(s)\,g'(s)}{\bigl(g(s)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f e g:
f'(s) = \frac{d}{ds}\bigl(s^{2}\bigr) = 2s, \qquad g'(s) = \frac{d}{ds}\bigl(s^{2}+4\bigr) = 2s.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
q'(s) = \frac{f'(s)\,g(s) - f(s)\,g'(s)}{\bigl(g(s)\bigr)^{2}} = \frac{2s\,(s^{2}+4)\;-\;s^{2}\,(2s)}{(s^{2}+4)^{2}}.

Passo 4

Simplificamos o numerador:
2s\,(s^{2}+4) - 2s\,s^{2} = 2s^{3} + 8s - 2s^{3} = 8s.
Logo,
q'(s) = \frac{8s}{(s^{2}+4)^{2}}.

Resposta

q'(s) = \frac{8s}{\bigl(s^{2}+4\bigr)^{2}}.

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