Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\log _{2}(x)+\log _{3}(x)+\log _{4}(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\log_{2}(x)+\log_{3}(x)+\log_{4}(x).
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é a soma de três logaritmos com bases diferentes: 2, 3 e 4.
  • O domínio natural da função é x>0 (pois logaritmo só está definido para argumentos positivos).
  • Queremos f'(x), ou seja, a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar e derivar a fórmula básica para a derivada de um logaritmo de base a. Começo com um truque clássico (diferença entre lembrar e entender — aqui eu ensino o porquê):
Seja
y=\log_{a}(x).
Por definição isso é equivalente a
a^{y}=x.
Diferenciando ambos os lados em relação a x (uso derivada implícita: y é função de x):
\frac{d}{dx}\big(a^{y}\big)=\frac{d}{dx}(x).
A derivada de a^{y} em relação a x é a^{y}\ln(a)\cdot \frac{dy}{dx} (regra da cadeia), e a derivada de x é 1. Logo
a^{y}\ln(a)\cdot \frac{dy}{dx}=1.
Como a^{y}=x, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\ln(a)}.
Portanto, a fórmula fundamental é:
\frac{d}{dx}\big(\log_{a}(x)\big)=\frac{1}{x\ln(a)}.
Explicação das letras: a é a base do logaritmo (aqui 2,3,4), x é a variável, e \ln é o logaritmo natural (base e).

Passo 3

Outra forma útil (equivalente) é a fórmula de mudança de base:
\log_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}.
Se você derivar essa expressão usando que \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x} e que \ln(a) é constante, também chega em
\frac{d}{dx}\big(\log_{a}(x)\big)=\frac{1}{x\ln(a)}.
Ambas as abordagens dão a mesma fórmula; escolhi a derivação por diferenciação implícita antes porque deixa claro de onde vem o \ln(a).

Passo 4

Agora aplico a fórmula a cada termo da soma. Para x>0:
  • Para \log_{2}(x):
\frac{d}{dx}\big(\log_{2}(x)\big)=\frac{1}{x\ln(2)}.
  • Para \log_{3}(x):
\frac{d}{dx}\big(\log_{3}(x)\big)=\frac{1}{x\ln(3)}.
  • Para \log_{4}(x):
\frac{d}{dx}\big(\log_{4}(x)\big)=\frac{1}{x\ln(4)}.

Passo 5

Como a derivada de soma é a soma das derivadas, juntamos os três resultados:
f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}+\frac{1}{x\ln(3)}+\frac{1}{x\ln(4)}.
Fatorando 1/x,
f'(x)=\frac{1}{x}\Big(\frac{1}{\ln(2)}+\frac{1}{\ln(3)}+\frac{1}{\ln(4)}\Big).

Passo 6

Podemos simplificar um pouco usando \ln(4)=\ln(2^2)=2\ln(2). Então
\frac{1}{\ln(4)}=\frac{1}{2\ln(2)}.
Substituindo em f'(x):
f'(x)=\frac{1}{x}\Big(\frac{1}{\ln(2)}+\frac{1}{\ln(3)}+\frac{1}{2\ln(2)}\Big) =\frac{1}{x}\Big(\frac{3}{2\ln(2)}+\frac{1}{\ln(3)}\Big).

Passo 7

Se quiser escrever como uma única fração, faço o mínimo múltiplo 2\ln(2)\ln(3):
\frac{3}{2\ln(2)}+\frac{1}{\ln(3)}=\frac{3\ln(3)+2\ln(2)}{2\ln(2)\ln(3)}.
Portanto uma forma final é
f'(x)=\frac{3\ln(3)+2\ln(2)}{2\,x\,\ln(2)\,\ln(3)}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x}\Big(\frac{1}{\ln(2)}+\frac{1}{\ln(3)}+\frac{1}{\ln(4)}\Big)=\frac{1}{x}\Big(\frac{3}{2\ln(2)}+\frac{1}{\ln(3)}\Big)=\frac{3\ln(3)+2\ln(2)}{2\,x\,\ln(2)\,\ln(3)}.

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