Encontre as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é a soma de três logaritmos com bases diferentes:
, e . - O domínio natural da função é
(pois logaritmo só está definido para argumentos positivos). - Queremos
, ou seja, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar e derivar a fórmula básica para a derivada de um logaritmo de base
. Começo com um truque clássico (diferença entre lembrar e entender — aqui eu ensino o porquê):
Seja
Seja
Por definição isso é equivalente a
Diferenciando ambos os lados em relação a
(uso derivada implícita:
é função de
):
A derivada de
em relação a
é
(regra da cadeia), e a derivada de
é
. Logo
Como
, obtemos
Portanto, a fórmula fundamental é:
Explicação das letras:
é a base do logaritmo (aqui
),
é a variável, e
é o logaritmo natural (base
).
Passo 3
Outra forma útil (equivalente) é a fórmula de mudança de base:
Se você derivar essa expressão usando que
e que
é constante, também chega em
Ambas as abordagens dão a mesma fórmula; escolhi a derivação por diferenciação implícita antes porque deixa claro de onde vem o
.
Passo 4
Agora aplico a fórmula a cada termo da soma. Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Como a derivada de soma é a soma das derivadas, juntamos os três resultados:
Fatorando
,
Passo 6
Podemos simplificar um pouco usando
. Então
Substituindo em
:
Passo 7
Se quiser escrever como uma única fração, faço o mínimo múltiplo
:
Portanto uma forma final é