Encontre as derivadas das seguintes funções trigonométricas abaixo.
a) f(x)=2 cdot cos x^2 cdot sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=2cdotcosl(x^2r)cdotsenl(2xr)
O conteúdo que vamos usar inclui a regra do produto, a regra da cadeia e as derivadas de funções trigonométricas básicas ( ddxcos u=-sen ucdot u' e ddxsen u=cos ucdot u').

Passo 2

Para facilitar, escrevemos
f(x)=2l(u(x),v(x)r),
onde
u(x)=cosl(x^2r), v(x)=senl(2xr)
O fator 2 é constante, então
f'(x)=2;ddxl(u(x),v(x)r)

Passo 3

Aplicamos a regra do produto em u(x),v(x). Primeiro, as derivadas parciais:
u'(x)=ddxcosl(x^2r) =-senl(x^2r)cdotddx(x^2) =-2x,senl(x^2r),
v'(x)=ddxsenl(2xr) =cosl(2xr)cdotddx(2x) =2,cosl(2xr)

Passo 4

Pela regra do produto,
ddxl(u,vr) =u',v+u,v' =(-2x,sen(x^2));sen(2x) +cos(x^2);(2,cos(2x))
Multiplicando tudo por 2, temos
f'(x) =2l[-2x,sen(x^2),sen(2x)+2,cos(x^2),cos(2x)r]
Agora basta simplificar.

Resposta

f'(x)=-4x,senl(x^2r),senl(2xr) +4,cosl(x^2r),cosl(2xr)

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