Suponha que um indivíduo esteja enchendo uma bola de futebol, a qual pode ser aproximada por uma esfera. O ar está sendo bombeado para o interior dessa bola uma taxa de 100 cm^3 / s. Quão rápido o raio dessa bola está aumentando quando o seu diâmetro for de 8 cm .

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera cujo volume V (em cm^3) varia no tempo devido ao ar ser bombeado à razão
dVdt=100 cm^3/s. Queremos a taxa de variação do raio r (em cm), ou seja drdt, no instante em que o diâmetro é 8 cm (logo r=4 cm). O conteúdo usado será diferenciação implícita em taxas relacionadas.

Passo 2

Escrevemos a fórmula do volume de uma esfera em função do raio:
V = 43,pi,r^3

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t (regra da cadeia para r^3):
dVdt = ddt!l(tfrac43pi r^3r) = tfrac43picdot 3r^2drdt =4pi r^2drdt

Passo 4

Isolando drdt:
drdt =dVdt4pi r^2

Passo 5

Substituindo dVdt=100 e r=4 cm:
drdt =1004pi,(4)^2 =10064pi =2516pi cm/s approx0,497 cm/s

Resposta

drdt=2516pi cm/sapprox0,497 cm/s

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