Encontre as derivadas sucessivas f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x) e f^{\prime \prime \prime}(x) das funções abaixo:
f(x)=\frac{x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede as três primeiras derivadas da função
f(x)=\frac{x}{x-1}.
O conteúdo necessário é a regra do quociente para obter f'(x) e, em seguida, as regras de potência e cadeia para f''(x) e f'''(x).

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{(1)(x-1)-(x)(1)}{(x-1)^{2}} =\frac{x-1 - x}{(x-1)^{2}} =\frac{-1}{(x-1)^{2}}.

Passo 3

Reescrevemos f'(x) como - (x-1)^{-2} e usamos a regra de potência e cadeia:
f''(x) =-\bigl(-2\bigr)(x-1)^{-3}\cdot1 =2\,(x-1)^{-3} =\frac{2}{(x-1)^{3}}.

Passo 4

Para f'''(x), derivamos 2\,(x-1)^{-3}:
f'''(x) =2\bigl(-3\bigr)(x-1)^{-4}\cdot1 =-6\,(x-1)^{-4} =-\frac{6}{(x-1)^{4}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^{2}} f''(x)=\frac{2}{(x-1)^{3}} f'''(x)=-\frac{6}{(x-1)^{4}}

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