Encontre o determinante e as raízes da matriz abaixo. Mostre sua resolução em detalhes.
[cck1+k2-40 omega^2 & -k2 -k2 & k2+k3-m2 omega^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o determinante e as raízes da matriz dada. Estamos lidando com matrizes e determinantes, que fazem parte da álgebra linear. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2 e também como encontrar as raízes (ou autovalores) dessa matriz. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que nos foi dada:
k1 + k2 -40 omega^2 & -k2 -k2 & k2+k3 - m2 omega^2

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 2x2, o determinante é dado por:
det(A) = a cdot d - b cdot c
Onde:
  • a = k1 + k2 -40 omega^2
  • b = -k2
  • c = -k2
  • d = k2+k3 - m2 omega^2
Então, substituindo na fórmula:
det(A) = (k1 + k2 -40 omega^2) cdot (k2+k3 - m2 omega^2) - (-k2) cdot (-k2)

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
det(A) = (k1 + k2 -40 omega^2)(k2+k3 - m2 omega^2) - k2^2
Esse é o determinante da matriz.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as raízes da matriz, que são os valores de lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade:
I = 1 & 0 0 & 1
Subtraindo lambda da diagonal principal da matriz original:
A - lambda I = k1 + k2 -40 omega^2 - lambda & -k2 -k2 & k2+k3 - m2 omega^2 - lambda

Passo 6

Agora, calculamos o determinante dessa nova matriz:
det(A - lambda I) = (k1 + k2 -40 omega^2 - lambda)(k2+k3 - m2 omega^2 - lambda) - (-k2) cdot (-k2)
Simplificando:
(k1 + k2 -40 omega^2 - lambda)(k2+k3 - m2 omega^2 - lambda) - k2^2 = 0

Passo 7

Essa é uma equação quadrática em lambda . Para encontrar as raízes, podemos resolver essa equação utilizando a fórmula de Bhaskara ou outros métodos de resolução de polinômios. As soluções dessa equação nos darão os valores dos autovalores da matriz.

Resposta

O determinante da matriz é:
det(A) = (k1 + k2 -40 omega^2)(k2+k3 - m2 omega^2) - k2^2
As raízes da matriz, ou seja, os autovalores, são os valores de lambda que satisfazem a equação:
(k1 + k2 -40 omega^2 - lambda)(k2+k3 - m2 omega^2 - lambda) - k2^2 = 0
Essas raízes podem ser encontradas resolvendo a equação quadrática resultante.

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