Encontre a devivada das seguintes funcoies:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente usando a Regra da Cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra da cadeia para funções dentro de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização da composição:
Isso mostra claramente que temos uma função externa
e uma função interna
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta
é:
No nosso caso,
e
. Então, primeiro vamos derivar a parte externa em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos derivar a parte interna
. Para isso, usamos novamente a Regra da Cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e
, cuja derivada é
. Então:
Passo 5
Agora, juntando as partes utilizando a Regra da Cadeia, temos:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Também podemos utilizar a identidade trigonométrica
para simplificar ainda mais:
Resposta
A derivada da função é:
Alternativamente, utilizando identidade trigonométrica: