Encontre a devivada das seguintes funcoies:
f(x)=sen^2(x^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função f(x) = sin^2(x^2 + 1) . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente usando a Regra da Cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra da cadeia para funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização da composição:
f(x) = (sin(x^2 + 1))^2
Isso mostra claramente que temos uma função externa u^2 e uma função interna u = sin(x^2 + 1) .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta f(g(x)) é:
f'(g(x)) cdot g'(x)
No nosso caso, f(u) = u^2 e g(x) = sin(x^2 + 1) . Então, primeiro vamos derivar a parte externa em relação a u :
ddu u^2 = 2u

Passo 4

Agora, vamos derivar a parte interna g(x) = sin(x^2 + 1) . Para isso, usamos novamente a Regra da Cadeia. A derivada de sin(v) em relação a v é cos(v) , e v = x^2 + 1 , cuja derivada é 2x . Então:
ddx sin(x^2 + 1) = cos(x^2 + 1) cdot 2x

Passo 5

Agora, juntando as partes utilizando a Regra da Cadeia, temos:
f'(x) = 2u cdot dudx
Substituindo u e dudx :
f'(x) = 2 cdot sin(x^2 + 1) cdot cos(x^2 + 1) cdot 2x

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
f'(x) = 4x cdot sin(x^2 + 1) cdot cos(x^2 + 1)
Também podemos utilizar a identidade trigonométrica 2sin A cos A = sin(2A) para simplificar ainda mais:
f'(x) = 2x cdot sin(2(x^2 + 1))

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 4x cdot sin(x^2 + 1) cdot cos(x^2 + 1)
Alternativamente, utilizando identidade trigonométrica:
f'(x) = 2x cdot sin(2x^2 + 2)

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