Exercício 6. Calcule f^prime(x) nos casos abaixo:
f(x)=integral3 x^x^2 cos (t^2+t+1) d t.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=integral3x^,x^2cosl(t^2+t+1r),dt
Isso cai no conteúdo de diferenciação de integrais com limites dependentes de x, para o qual usamos a regra de Leibniz.

Passo 2

A regra de Leibniz diz que, se
F(x)=integrala(x)^b(x)g(t),dt,
então
F'(x)=gl(b(x)r),b'(x);-;gl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

No nosso caso temos
a(x)=3x, b(x)=x^2, g(t)=cosl(t^2+t+1r)
Calculando as derivadas dos limites:
a'(x)=3, b'(x)=2x

Passo 4

Agora avaliamos g nos extremos e aplicamos a regra:
gl(b(x)r) =cosl((x^2)^2+x^2+1r) =cosl(x^4+x^2+1r),
gl(a(x)r) =cosl((3x)^2+3x+1r) =cosl(9x^2+3x+1r)
Portanto,
f'(x) = cosl(x^4+x^2+1r)cdot(2x) - cosl(9x^2+3x+1r)cdot3

Resposta

f'(x)=2xcosl(x^4+x^2+1r);-;3cosl(9x^2+3x+1r)

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