Exercício 7. Calcule as integrais:
integral-3^2|x+1| d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-3^2 |x+1| , dx
O conteúdo é integração de função módulo. A ideia é encontrar onde a expressão dentro do módulo troca de sinal (pontos de quebra) e então dividir a integral nesses intervalos.

Passo 2

Encontramos o zero de x+1 resolvendo x+1=0, o que dá x=-1.
Para x< -1 temos x+1<0 e para x> -1 temos x+1>0.
Portanto
integral-3^2 |x+1| , dx = integral-3^-1 -(x+1),dx ;+;integral-1^2 (x+1),dx

Passo 3

Na primeira parte,
integral-3^-1 -(x+1),dx = -integral-3^-1 (x+1),dx
Uma primitiva de x+1 é tfracx^22+x. Então
-integral-3^-1 (x+1),dx = -l[tfracx^22+xr]-3^-1

Passo 4

Avaliamo-os em x=-1 e x=-3:
em x=-1: tfrac(-1)^22+(-1)=tfrac12-1=-tfrac12.
em x=-3: tfrac92-3=tfrac32.
A diferença interna é
l(-tfrac12r)-l(tfrac32r) = -2,
e multiplicando por -1 obtém-se
integral-3^-1 -(x+1),dx = 2

Passo 5

Na segunda parte,
integral-1^2 (x+1),dx = l[tfracx^22+xr]-1^2
Em x=2: 2^2/2+2=2+2=4.
Em x=-1: tfrac12-1=-tfrac12.
Logo
4 - l(-tfrac12r) = tfrac92

Passo 6

Somando os resultados das duas partes:
2 + tfrac92 = tfrac132

Resposta

tfrac132

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