Encontre f^prime prime(x) diferenciando implicitamente as funções dadas.
9 x^2+y^2=1

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
9x^2 + y^2 = 1
e pede a segunda derivada f''(x) obtida por diferenciação implícita. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia na primeira e na segunda diferenciação, além de simplificar usando a própria equação da curva.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
9x^2 + y^2 = 1
em relação a x, temos
18x + 2y,y' = 0
Isolando y',
2y,y' = -18x Longrightarrow y' = -18x2y = -9xy

Passo 3

Para achar y'', derivamos
y' = -9xy
em relação a x. Usando a regra do quociente:
y'' = -9;y - x,y'y^2
Agora substituímos y' = -9xy:
y'' = -9;y - xl(-9xyr)y^2 = -9;y + 9x^2yy^2 = -9;y^2 + 9x^2yy^2 = -9;y^2 + 9x^2y^3

Passo 4

Perceba que da equação inicial temos 9x^2+y^2=1, logo y^2+9x^2=1. Assim
y'' = -9;1y^3 = -9y^3

Resposta

f''(x) = -9y^3

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