Use os multiplicadores de Lagrange para achar os extremos de sujeitos aos vínculos indicados.
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Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y,z)=z - x^2 - y^2
sujeito aos vínculos
x + y + z = 1,
x^2 + y^2 = 4
O conteúdo é otimização com restrições múltiplas usando multiplicadores de Lagrange. Vamos introduzir dois multiplicadores lambda e mu e resolver o sistema nabla f = lambda,nabla (x+y+z-1) + mu,nabla(x^2+y^2-4) junto com os vínculos.

Passo 2

Escrevendo gradientes:
nabla f = l(-2x,,-2y,,1r), nabla(x+y+z-1) = (1,1,1), nabla(x^2+y^2-4) = (2x,2y,0)
O sistema de Lagrange fica
-2x = lambda + 2mu x,
-2y = lambda + 2mu y,
1 = lambda,
além de
x + y + z = 1,
x^2 + y^2 = 4

Passo 3

Da terceira equação temos imediatamente
lambda = 1
Substituindo lambda=1 nas duas primeiras,
-2x = 1 + 2mu x, -2y = 1 + 2mu y
Reescrevendo,
-2x - 2mu x = 1 Longrightarrow -2x(1+mu) = 1 Longrightarrow (1+mu),x = -12,
(1+mu),y = -12

Passo 4

Se 1+muneq 0, podemos dividir e obter
x = y = -12(1+mu)
Então pelo vínculo circular
x^2+y^2=2x^2=4 Longrightarrow x^2=2 Longrightarrow x=y=pmraiz2
Não há outra possibilidade, pois o caso 1+mu=0 leva a contradição.

Passo 5

Para cada escolha de x=y achamos z via x+y+z=1:
  • Se x=y=raiz2, então z = 1 - 2raiz2
  • Se x=y=-raiz2, então z = 1 + 2raiz2

Passo 6

Calculamos f em cada ponto:
  • Em l(raiz2,raiz2,1-2raiz2r): f = z - x^2 - y^2 = (1-2raiz2) - 2 - 2 = -3 - 2raiz2
  • Em l(-raiz2,-raiz2,1+2raiz2r): f = (1+2raiz2) - 2 - 2 = -3 + 2raiz2
Como -3+2raiz2 > -3-2raiz2, o maior valor é -3+2raiz2 e o menor é -3-2raiz2.

Resposta

O ponto de máximo é
(x,y,z)=l(-raiz2,-raiz2,1+2raiz2r), fmax = -3 + 2raiz2
O ponto de mínimo é
(x,y,z)=l(raiz2,raiz2,1-2raiz2r), fmin = -3 - 2raiz2

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