Use os multiplicadores de Lagrange para achar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
sujeito aos vínculos
O conteúdo é otimização com restrições múltiplas usando multiplicadores de Lagrange. Vamos introduzir dois multiplicadores
e
e resolver o sistema
junto com os vínculos.
Passo 2
Escrevendo gradientes:
O sistema de Lagrange fica
além de
Passo 3
Da terceira equação temos imediatamente
Substituindo
nas duas primeiras,
Reescrevendo,
Passo 4
Se
, podemos dividir e obter
Então pelo vínculo circular
Não há outra possibilidade, pois o caso
leva a contradição.
Passo 5
Para cada escolha de
achamos
via
:
- Se
, então - Se
, então
Passo 6
Calculamos
em cada ponto:
- Em
: - Em
:
Como
, o maior valor é
e o menor é
.
Resposta
O ponto de máximo é
O ponto de mínimo é