No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes utilizado para estudar a interação entre espécies. Considere uma população de lobos da tundra, dada por W(t), e caribus, dada por C(t), no norte do Canadá. A interação tem sido modelada pelas equações:
d Cd t=a C-b C W e d Wd t=-c W+c d W
a) Que valores de d Cd t e d Wd t correspondem a populações estáveis?
b) Como representar matematicamente a afirmativa: o caribu está se extinto!
c) Suponha que a=0,005, b=0,001, c=0,05 e d=0,0001. Encontre os pares (C ; W) que levam a populações estáveis. Segundo esse modelo, é possível para as espécies viverem em harmonia, ou uma das duas espécies acabam se extinguindo?

Passo 1

A questão nos dá o clássico modelo predador-presa de Lotka–Volterra aplicado a caribus C(t) e lobos W(t):
dCdt=a,C - b,C,W, dWdt=-c,W + d,C,W
Queremos (a) saber quando as populações são estáveis, ou seja, quando ambas as derivadas se anulam, (b) escrever a “extinção dos caribus” em termos matemáticos e (c) com valores numéricos dados de a,b,c,d encontrar os pontos de equilíbrio e dizer se há coexistência viável.

Passo 2

Para encontrar os equilíbrios, impomos
dCdt=0 Longrightarrow a,C - b,C,W = 0 Longrightarrow C,(a - b,W)=0,
o que dá C=0 ou W = tfracab.
dWdt=0 Longrightarrow -,c,W + d,C,W = 0 Longrightarrow W,(-c + d,C)=0,
o que dá W=0 ou C = tfraccd.

Passo 3

A afirmativa “o caribu está se extinguindo” significa que a população de caribu vai a zero. Matematicamente escrita, podemos dizer
C(t)=0 ou limttoinftyC(t)=0

Passo 4

Agora usamos os valores a=0,005, b=0,001, c=0,05, d=0,0001.
W^*=ab=0,0050,001=5, C^*=cd=0,050,0001=500
Assim os pontos de equilíbrio são
(C,W)=(0,0) e (C,W)=(500,5)

Passo 5

O ponto (0,0) é o equilíbrio trivial em que ambas as espécies estão extintas. Já (500,5) é o equilíbrio não trivial, com 500 caribus e 5 lobos, indicando coexistência estável. Portanto, segundo o modelo, existe um equilíbrio de “harmonia” (500,5) em que nenhuma das espécies se extingue.

Resposta

a) Populações estáveis ocorrem quando
dCdt=0 e dWdt=0
b) “O caribu está se extinguindo” é expresso por
C(t)=0 ou limttoinftyC(t)=0
c) Com a=0,005, b=0,001, c=0,05, d=0,0001, os equilíbrios são
(C,W)=(0,0) e (C,W)=(500,5)
Há, portanto, uma possibilidade de coexistência estável em (500,5).

Exercícios relacionados