No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes utilizado para estudar a interação entre espécies. Considere uma população de lobos da tundra, dada por
, e caribus, dada por
, no norte do Canadá. A interação tem sido modelada pelas equações:
a) Que valores de
correspondem a populações estáveis?
b) Como representar matematicamente a afirmativa: o caribu está se extinto!
c) Suponha que
e
. Encontre os pares
que levam a populações estáveis. Segundo esse modelo, é possível para as espécies viverem em harmonia, ou uma das duas espécies acabam se extinguindo?
b) Como representar matematicamente a afirmativa: o caribu está se extinto!
c) Suponha que
Passo 1
A questão nos dá o clássico modelo predador-presa de Lotka–Volterra aplicado a caribus
e lobos
:
Queremos (a) saber quando as populações são estáveis, ou seja, quando ambas as derivadas se anulam, (b) escrever a “extinção dos caribus” em termos matemáticos e (c) com valores numéricos dados de
encontrar os pontos de equilíbrio e dizer se há coexistência viável.
Passo 2
Para encontrar os equilíbrios, impomos
o que dá
ou
.
o que dá
ou
.
Passo 3
A afirmativa “o caribu está se extinguindo” significa que a população de caribu vai a zero. Matematicamente escrita, podemos dizer
Passo 4
Agora usamos os valores
,
,
,
.
Assim os pontos de equilíbrio são
Passo 5
O ponto
é o equilíbrio trivial em que ambas as espécies estão extintas. Já
é o equilíbrio não trivial, com
caribus e
lobos, indicando coexistência estável. Portanto, segundo o modelo, existe um equilíbrio de “harmonia”
em que nenhuma das espécies se extingue.
Resposta
a) Populações estáveis ocorrem quando
b) “O caribu está se extinguindo” é expresso por
c) Com
,
,
,
, os equilíbrios são
Há, portanto, uma possibilidade de coexistência estável em
.