Suponha que os custos, em dólares, para uma companhia produzir x pares de uma nova linha de jeans é C(x)=2000+3 x+0,01 x^2+0,0002 x^3.
a) Encontre a função custo marginal;
b) Encontre C^prime(100) e explique seu resultado. O que ele prediz?
c) Compare C^prime(100) com o custo de manufaturar os 101 primeiros jeans.

Passo 1

O enunciado dá a função custo
C(x)=2000 + 3x + 0,01x^2 + 0,0002x^3
onde x é o número de pares de jeans produzidos.
Conteúdo: derivada de polinômio para obter a função custo marginal C'(x), depois avaliar em x=100 e interpretar como predição do custo de produzir mais um par. Por fim, comparar essa predição com o custo real de produzir o 101^o par, que é C(101)-C(100).

Passo 2

Para achar a função custo marginal, derivamos termo a termo:
C'(x) = ddxl(2000r) + ddxl(3xr) + ddxl(0,01x^2r) + ddxl(0,0002x^3r) = 0 + 3 + 2cdot0,01,x + 3cdot0,0002,x^2
Logo,
C'(x) = 3 + 0,02,x + 0,0006,x^2

Passo 3

Agora avaliamos em x=100:
C'(100) = 3 + 0,02cdot100 + 0,0006cdot100^2 = 3 + 2 + 0,0006cdot10000 = 5 + 6 = 11
Interpretação: C'(100)=11 significa que, quando já foram produzidos 100 pares, o custo marginal (aproximação do custo de fabricar o próximo par, o 101^o) é aproximadamente $11.

Passo 4

Vamos comparar com o custo exato de produzir o 101^o par, que é
De<a C = C(101) - C(100)
Calculando C(100):
C(100) = 2000 + 3cdot100 + 0,01cdot100^2 + 0,0002cdot100^3 = 2000 + 300 + 100 + 200 = 2600
E C(101):
C(101) = 2000 + 3cdot101 + 0,01cdot101^2 + 0,0002cdot101^3 = 2000 + 303 + 102,01 + 206,0602 = 2611,0702
Então
De<a C = 2611,0702 - 2600 = 11,0702
Comparando: C'(100)=11 e o custo real do 101^o par é $11,07. A derivada deu uma boa aproximação, ligeiramente subestimada em $0,07.

Resposta

a) C'(x)=3+0,02x+0,0006x^2
b) C'(100)=11, o que prediz que produzir o 101^o par custará cerca de $11.
c) O custo exato de produzir o 101^o par é $11,07, um pouco acima de C'(100).

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