Use os multiplicadores de Lagrange para achar os extremos de f sujeitos aos vínculos indicados.
f(x, y, z)=x+2 y-3 z ; z=4 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y,z)=x+2y-3z
sujeito ao vínculo
z = 4x^2 + y^2
O conteúdo é multiplicadores de Lagrange: vamos introduzir um multiplicador lambda para impor a condição
g(x,y,z) = z - 4x^2 - y^2 = 0

Passo 2

Formamos o Lagrangiano
L(x,y,z,lambda) = f(x,y,z) - lambda,g(x,y,z) = x + 2y - 3z ; - ; lambdal(z - 4x^2 - y^2r)
Calculamos as equações nabla L=0:
partialLpartial x: 1 - lambda(-8x) = 0,[6pt] partialLpartial y: 2 - lambda(-2y) = 0,[6pt] partialLpartial z: -3 - lambda(1) = 0,[6pt] partialLpartial lambda: -(z - 4x^2 - y^2)=0 ]

Passo 3

Da terceira equação obtemos
-3 - lambda = 0 Longrightarrow lambda = -3
Substituindo em
1 = lambda(-8x) Longrightarrow 1 = -3cdot(-8x) ;Rightarrow; 1 =24x ;Rightarrow; x = tfrac124,
e em
2 = lambda(-2y) Longrightarrow 2 = -3cdot(-2y) ;Rightarrow; 2 =6y ;Rightarrow; y = tfrac13

Passo 4

Usando o vínculo z = 4x^2 + y^2, temos
z = 4l(tfrac124r)^2 + l(tfrac13r)^2 = 4cdottfrac1576 + tfrac19 = tfrac1144 + tfrac19 = tfrac1 +16144 = tfrac17144
Portanto o único ponto crítico é
l(x,y,zr) = l(tfrac124,,tfrac13,,tfrac17144r)

Passo 5

Calculamos o valor de f nesse ponto:
fl(tfrac124,tfrac13,tfrac17144r) = tfrac124 + 2cdottfrac13 ;-;3cdottfrac17144 = tfrac124 + tfrac23 - tfrac51144
Colocando em denominação 144:
tfrac124=tfrac6144, tfrac23=tfrac96144,
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f = tfrac6 + 96 - 51144 = tfrac51144 = tfrac1748

Passo 6

Para classificar o extremo, note que ao afastar-nos do ponto crítico (por exemplo levando |x| ou |y| grandes), o termo -12x^2 ou -3y^2 domina e faz fto -infty. Não há valor de f maior que tfrac1748, então este ponto é um máximo global sujeito ao vínculo.

Resposta

O único extremo sujeito a z=4x^2+y^2 é um máximo em
l(x,y,zr) = l(tfrac124,,tfrac13,,tfrac17144r),
com valor máximo
fmax = tfrac1748

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