Encontre a dimensão de cada um dos espaços vetoriais V. Você conhece alguma base para V ?
(polinômios de grau menor ou igual a 2 )
Passo 1
O enunciado pede a dimensão de
, que é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2, e pergunta se conhecemos alguma base para esse espaço. Para resolver, vamos usar os conceitos de combinação linear, independência linear, geração de um espaço e definição de dimensão.
Passo 2
Um elemento genérico de
pode ser escrito como
onde
. Ou seja, cada polinômio em
é totalmente determinado pelos três coeficientes
.
Passo 3
A família
é candidata a base porque:
-
Geração: todo polinômio
pode ser escrito como ou seja, é combinação linear de. -
Independência linear: se para certos escalares
tivermos como polinômio zero, isso significa que o coeficiente constante é zero (), o coeficiente de é zero ( ) e o de é zero ( ). Logo, não há combinação não trivial que dê zero, e o conjunto é linearmente independente.
Portanto,
é uma base de
.
Passo 4
Pela definição de dimensão, ela é o número de vetores de uma base de
. Como encontramos uma base com exatamente 3 elementos, segue que