Encontre a dimensão de cada um dos espaços vetoriais V. Você conhece alguma base para V ?
V=P^2(R) (polinômios de grau menor ou igual a 2 )

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de V = P^2(R), que é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2, e pergunta se conhecemos alguma base para esse espaço. Para resolver, vamos usar os conceitos de combinação linear, independência linear, geração de um espaço e definição de dimensão.

Passo 2

Um elemento genérico de P^2(R) pode ser escrito como
p(x) = a + b,x + c,x^2,
onde a,b,cinR. Ou seja, cada polinômio em P^2(R) é totalmente determinado pelos três coeficientes (a,b,c).

Passo 3

A família ,1,;x,;x^2 é candidata a base porque:
  1. Geração: todo polinômio p(x)=a + b,x + c,x^2 pode ser escrito como
    p(x) = acdot 1 + bcdot x + ccdot x^2,
    ou seja, é combinação linear de 1, x, x^2.
  2. Independência linear: se para certos escalares c0,c1,c2inR tivermos
    c0cdot 1 + c1cdot x + c2cdot x^2 = 0
    como polinômio zero, isso significa que o coeficiente constante é zero ( c0=0), o coeficiente de x é zero ( c1=0) e o de x^2 é zero ( c2=0). Logo, não há combinação não trivial que dê zero, e o conjunto é linearmente independente.
Portanto, 1,x,x^2 é uma base de P^2(R).

Passo 4

Pela definição de dimensão, ela é o número de vetores de uma base de V. Como encontramos uma base com exatamente 3 elementos, segue que
diml(P^2(R)r)=3

Resposta

diml(P^2(R)r)=3 e uma base é 1,,x,,x^2.

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