Nos seguintes casos determine se o conjunto W de vetores é um sub-espaço vetorial do espaço vetorial V, dando a justificativa correta.
V=R^4, W=[la b c d] in R^4 rvert, a+b+c+d >= 0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial e o subconjunto
Para que seja subespaço vetorial de , precisamos verificar três propriedades:
  1. contém o vetor zero.
  2. é fechado sob soma de vetores.
  3. é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W. Para o vetor zero 0=(0,0,0,0)^T temos
0+0+0+0 = 0 >= 0,
logo 0in W.

Passo 3

Mostramos a fechamento sob soma. Tomemos
u=(a1,b1,c1,d1)^Tin W e
v=(a2,b2,c2,d2)^Tin W. Então
a1+b1+c1+d1 >= 0 e a2+b2+c2+d2 >= 0
Somando as duas desigualdades vem
(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)+(d1+d2)>=0,
ou seja, u+vin W.

Passo 4

Testamos o fechamento sob multiplicação escalar. Se
v=(a,b,c,d)^Tin W então a+b+c+d>=0. Para um escalar lambdainR, o vetor lambdav tem soma de componentes
lambda(a+b+c+d)
Se lambda<0 e a+b+c+d>0, então lambda(a+b+c+d)<0, o que faz lambdavnotin W. Por exemplo,
v=(1,0,0,0)^Tin W pois 1>=0, mas
-1cdotv=(-1,0,0,0)^T tem soma -1<0 e não pertence a W.
Logo W não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V, pois falha o fechamento sob multiplicação escalar.

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