Nos seguintes casos determine se o conjunto de vetores é um sub-espaço vetorial do espaço vetorial , dando a justificativa correta.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial e o subconjunto
Para que seja subespaço vetorial de , precisamos verificar três propriedades:
contém o vetor zero.
é fechado sob soma de vetores.
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em W. Para o vetor zero 0=(0,0,0,0)^T temos
0+0+0+0 = 0 >= 0,
logo 0in W.
Passo 3
Mostramos a fechamento sob soma. Tomemos u=(a1,b1,c1,d1)^Tin W e v=(a2,b2,c2,d2)^Tin W. Então
a1+b1+c1+d1 >= 0 e a2+b2+c2+d2 >= 0
Somando as duas desigualdades vem
(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)+(d1+d2)>=0,
ou seja, u+vin W.
Passo 4
Testamos o fechamento sob multiplicação escalar. Se v=(a,b,c,d)^Tin W então a+b+c+d>=0. Para um escalar lambdainR, o vetor lambdav tem soma de componentes
lambda(a+b+c+d)
Se lambda<0 e a+b+c+d>0, então lambda(a+b+c+d)<0, o que faz lambdavnotin W. Por exemplo, v=(1,0,0,0)^Tin W pois 1>=0, mas -1cdotv=(-1,0,0,0)^T tem soma -1<0 e não pertence a W.
Logo W não é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
W não é subespaço vetorial de V, pois falha o fechamento sob multiplicação escalar.