Encontre a dimensão de cada um dos espaços vetoriais V. Você conhece alguma base para V ?
V=M(2,2) (matrizes quadradas de ordem 2)

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de V=M(2,2), o espaço vetorial de todas as matrizes 2times2. O conteúdo aqui é entender que cada matriz é determinada por quatro entradas reais, e usar a definição de dimensão como o número de vetores numa base de V.

Passo 2

Uma matriz geral em M(2,2) é
a & b c & d ,
onde a,b,c,dinR. Como cada escolha de (a,b,c,d) dá uma matriz distinta e não há restrição entre eles, vemos que M(2,2) é isomorfo a R^4. Logo, a dimensão de V é o número de coordenadas livres, isto é,
dim V = 4

Passo 3

Para expor uma base de V, escolhemos as matrizes que têm exatamente uma entrada igual a 1 e as demais 0. Essas matrizes são
E11 = 1 & 00 & 0, E12 = 0 & 10 & 0, E21 = 0 & 01 & 0, E22 = 0 & 00 & 1
Elas são linearmente independentes e geram M(2,2), portanto formam uma base.

Resposta

dim M(2,2)=4.
Uma base usual é E11,E12,E21,E22.

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