Encontre a dimensão de cada um dos espaços vetoriais V. Você conhece alguma base para V ?
(matrizes quadradas de ordem 2)
Passo 1
O enunciado pede a dimensão de
, o espaço vetorial de todas as matrizes
. O conteúdo aqui é entender que cada matriz é determinada por quatro entradas reais, e usar a definição de dimensão como o número de vetores numa base de
.
Passo 2
Uma matriz geral em
é
onde
. Como cada escolha de
dá uma matriz distinta e não há restrição entre eles, vemos que
é isomorfo a
. Logo, a dimensão de
é o número de coordenadas livres, isto é,
Passo 3
Para expor uma base de
, escolhemos as matrizes que têm exatamente uma entrada igual a
e as demais
. Essas matrizes são
Elas são linearmente independentes e geram
, portanto formam uma base.
Resposta
Uma base usual é