Sejam F=(x, y, z) in R^3 ; x+2 y=0 ; z=0 e G=(x, y, z) in R^3 ; 3 x-z=0. Determine um conjunto de geradores para F e um conjunto de geradores para G. Vale R^3=F oplus G?

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos geradores dos subespaços
F=(x,y,z)inR^3mid x+2y=0,;z=0
e
G=(x,y,z)inR^3mid 3x-z=0,
e em seguida verificar se R^3=Foplus G. O conteúdo é parametrização de subespaços lineares, base (conjunto de geradores) e soma direta de subespaços.

Passo 2

Para achar geradores de F, resolvemos as equações
x+2y=0, z=0
Daqui x=-2y e z=0. Tomando y=tinR, obtemos
(x,y,z)=(-2t,;t,;0)=tcdot(-2,1,0)
Logo um conjunto de geradores de F é
,(-2,1,0)

Passo 3

Para achar geradores de G, usamos a única restrição
3x-z=0implies z=3x
Podemos tomar x=s e y=t livres, obtendo
(x,y,z)=(s,;t,;3s)=s,(1,0,3)+t,(0,1,0)
Assim um conjunto de geradores de G é
(1,0,3),;(0,1,0)

Passo 4

Para verificar se R^3=Foplus G precisamos de dois fatos:
  1. dim(F)+dim(G)=1+2=3=dim(R^3).
  2. Fcap G=0. De fato, se (x,y,z)in Fcap G então (x,y,z)=t(-2,1,0) e simultaneamente (x,y,z)=s(1,0,3)+u(0,1,0). Da componente z vem 0=3sRightarrow s=0. Da componente x vem -2t=0Rightarrow t=0. Logo só há o vetor nulo na interseção.
Como a soma dos subespaços tem dimensão máxima e a interseção é trivial, segue que
R^3=Foplus G.

Resposta

Um conjunto de geradores de F é (-2,1,0).
Um conjunto de geradores de G é (1,0,3),,(0,1,0).
E vale R^3=Foplus G.

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