Sejam
e
. Determine um conjunto de geradores para
e um conjunto de geradores para
. Vale
?
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos geradores dos subespaços
e
e em seguida verificar se
. O conteúdo é parametrização de subespaços lineares, base (conjunto de geradores) e soma direta de subespaços.
Passo 2
Para achar geradores de
, resolvemos as equações
Daqui
e
. Tomando
, obtemos
Logo um conjunto de geradores de
é
Passo 3
Para achar geradores de
, usamos a única restrição
Podemos tomar
e
livres, obtendo
Assim um conjunto de geradores de
é
Passo 4
Para verificar se
precisamos de dois fatos:
-
. -
. De fato, se então e simultaneamente . Da componente vem . Da componente vem . Logo só há o vetor nulo na interseção.
Como a soma dos subespaços tem dimensão máxima e a interseção é trivial, segue que
.
Resposta
Um conjunto de geradores de
é
.
Um conjunto de geradores de é
.
E vale .
Um conjunto de geradores de
E vale